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微分几何试题库纲要 微分几何试题库纲要 PAGE / NUMPAGES 微分几何试题库纲要 微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ √ ） 2、二阶微分方程 A( u, v) du2 2B( u, v)dudv B(u, v)dv2 0总表示曲面上两族曲 线.（ ） 3、若 r (t) 和 s(t ) 均在 [a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（ √ ） 4、向量函数 s(t) 拥有固定长的充要条件是关于 t 的每一个值， s(t ) 的微商与 s(t ) 平行（ × ） 5、等距变换必定是保角变换 .（ ） 6、连结曲面上两点的全部曲线段中，测地线必定是最短的 .（ ） 7、常向量的微商不等于零（ × ） 8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（ 1，0， 0）的切线为 X=Y=Z （ × ） 9、关于曲线 s= s(t ) 上一点（ t=t 0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点 （ × ） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ √ ） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ √ ） 12、单位切向量的模是 1（ √ ） 13、每一个保角变换必定是等距变换 （ × ） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率独一确立 .（ ） 15、坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0 ，这里 F 是第一基本量 .（ ） 二、 填空题 16、曲面上的一个坐标网，此中一族是测地线 17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（ 1，0，0）的法平面是 ___ y+z=0, . 1 18.设给出 c1类曲线 : r b r (t ) ,a t b.则其弧长可表示为r (t) dt a 19、已知 r {cos3 x,sin 3 x,cos2 x} ，0 x ，则 1 {3cos 3si,n , 4x} x， 2 5 {sin x,cos x,0} ， 1 3} ， 6 ， 8 。 {4cos x, 4sin x, 25sin 2x 25sin 2x 5 20、曲面的在曲线， 假如它上边每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进 曲线。 21、旋转面 r={ (t )cos , (t)sin , (t ) }, 他的坐标网能否为正交的 ?____是 _____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 _____法线 _____线. ～ 23.任何两个向量 p, q 的数目积 p q p q cos( pq) 24、保持曲面上随意曲线的长度不便的变称为 ____等距 (保长 )变换 __. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是 _____常数 ____数(填“常数”或“特别数” ). 26.若曲线 (c)用自然参数表示 r r (t ) ,则曲线 (c)在 P( s0 ) 点的亲密平面的方程是 (R r (s0 ), r (s0 ),r (s0 )) 0 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和亲密平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为 Lx2 2Mxy Ny 2 1 29、已知曲面 r { u cosv, usin v,6 v} ， u 0， 0 v ，则它的第一基本形式 2 为 2 2 2 12 d u ( u 3 6 ) d v，第二基本形式为 u2 du dv ，高斯曲率 36 K 36 ，均匀曲率 H0 ，点 (1,0,0) 处沿方向 du : dv 2 的法曲 (u 2 36) 2 率 24 37 ，点 (1,0,0) 处的两个主曲率分别为 6 , 6 。 1517 37 37 2 30、（ Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间假如存在一个保长映照，则这个映 射必定是 R 3 中的合同或对称。 31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。 32.一个曲面为可展曲面的充足必需条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线 x t sint , y t cost, z tet 在原点的亲密平面，法平面，切线方程。 解： r { t sin t,t cost, tet }, r (t ) {sin t t cost, cost t sint ,et tet }, r (t) { 2cost t sin t, 2sin t t cost,2et tet } 在原点处 t 0 r (0) { 0,0,0}, r (0) { 0,1,1}, r ( 0) { 2,0,2}. 在原点处切平面的方程为 : ( R r (0), r (0), r (0)) 0 即XYZ0 法平面的方程为 : ( R r (0)) r ( 0) 0 即 Y Z 0 切线方程为 R r (0) r (0) 即 X Y Z 0 1