线性代数教案.doc

线性代数教学设计 线性代数教学设计 PAGE / NUMPAGES 线性代数教学设计 《线性代数》 讲课教学设计 刘思圆 第一章 队列式 本章说明与要求 : 队列式的理论是人们从解线性方程组的需要中成立和发展起来的，它在线性代数以及其余数学分支上都有着宽泛的应用．在本章里我们主要议论下边几个问题： 队列式的定义； 队列式的基天性质及计算方法； 利用队列式求解线性方程组 ( 克莱姆法例 ) ． 本章的要点是队列式的计算，要求在理解 n 阶队列式的观点，掌握队列式性 质的基础上，娴熟正确地计算三阶、四阶及简单的 n 阶队列式． 计算队列式的基本思路是：按行 ( 列 ) 睁开公式，经过降阶来计算．但在睁开以前去往先利用队列式性质经过对队列式的恒等变形，使队列式中出现许多的零和公因式，进而简化计算．常用的队列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学概括法，利用已知队列式法． 队列式在本章的应用是求解线性方程组 ( 克莱姆法例 ) ．要掌握克莱姆法例并注意克莱姆法例应用的条件． 。本章的要点：队列式性质；队列式的计算。 。本章的难点：队列式性质；高阶队列式的计算；克莱姆法例。 §1.1 二阶与三阶队列式 队列式的观点发源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．所以我们第一议论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 (1) 用加减消元法简单求出未知量  x1，x2 的值，当  a11a22  – a12a21≠0 时，有 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，所以，我们引进新的符号来表示 (2) 这个结果，这就是队列式的发源．我们称 个数构成的符号 为二阶队列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．队列式中的数叫做队列式的元素．从上式知，二阶队列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线 ( 又叫队列式的主对角线 ) 上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线 ( 又叫次对角线 ) 上两个元素的乘积，取负号． 依据定义，简单得悉 (2) 中的两个分子可分别写成 ， ， 假如记 ， ， 则当 D≠0时，方程组 (1) 的解 (2) 能够表示成 ， ， (3) 象这样用队列式来表示解，形式简易齐整，便于记忆． 第一 (3) 中分母的队列式是从 (1) 式中的系数按其原有的相对地点而排成 的．分子中的队列式， x1 的分子是把系数队列式中的第 1 列换成 (1) 的常数项获得的，而 x2 的分子则是把系数队列式的第 2 列换成常数项而获得的． 例 1 用二阶队列式解线性方程组 解：这时 ， ， ， 所以，方程组的解是 ， ， 关于三元一次线性方程组 (4) 作近似的议论，我们引入三阶队列式的观点．我们称符号 (5) 为三阶队列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法例来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号． 例 2 令 ， ， ． 当 D≠0时， (4) 的解可简单地表示成 ， ， (6) 它的构造与前面二元一次方程组的解近似． 例 3 解线性方程组 解： ， ， ， ． 所以， ， ， ． 例4 已知 ，问 a，b 应知足什么条件？ ( 此中 a，b 均为实数 ) ． 解： ，若要 a2+b2=0，则 a 与 b 须同时等于零．所以，当 a=0 且 b=0 时给定队列式等于零． 为了获得更加一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入 n 阶队列式的观点，为此，先介绍摆列的相关知识． 思虑题： 当 a、b 为什么值时，队列式 ． 1.2 摆列 在 n 阶队列式的定义中，要用到摆列的某些知识，为此先介绍摆列的一些基本知识． 定义 1 由数码 1， 2， ， n 构成一个有序数组称为一个 n 级摆列． 比如， 1234 是一个 4 级摆列， 3412 也是一个 4 级摆列，而 52341 是一个 5 级摆列．由数码 1，2，3 构成的所有 3 级摆列为： 123，132，213， 231，312，321共有 3!=6 个． 数字由小到大的 n 级摆列 1234 n 称为自然序摆列． 定义 2 在一个 n 级摆列 i1i2 in 中，假如有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面 (isit) ， 则称 it 与 is 构成一个逆序，一个 n 级摆列中逆序的总数，称为 这个摆列的逆序数，记作 N (i1i2 in) ． 比如， 在 4 级摆列 3412 中， 31 ，32， 41，42，各构成一个逆序数，所以，摆列 3412 的逆序数为 N(3412)=4．相同可计算摆列 52341 的逆序数为 N(52341)=7． 简单看出， 自然序摆列的逆序数为 0．