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微分方程稳固性分解 微分方程稳固性分解 PAGE / NUMPAGES 微分方程稳固性分解 带有时滞的动力系统的运动稳固性 分五部分内容，第一部分是 Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形 式；第二部分剖析了线性系统的一般性质、 特点方程重根时解的表示和解的指数 预计；第三部分议论解的存在独一性； 第四部分商讨解的表达式； 第五部分给出 Фрид定理。以此说明特点方程根的实部的符号能够用以判断带有时滞的线性 系统的稳固性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要议论的常系数线性系统的滞量 为常数，所指的滞后型与中立型系统分别 n 为 xi aij x j (t) bij x j (t ) ， j 1 n ) ， i 1,2, , n0， xi aij x j (t) bij xj (t ) cij xj (t j 1 这时，相应的特点方程分别是 aij bij e ij 0 ， aij bij e cij e  ij 0 。 对 0 ij ij ij0 为一代数方程 n P1 n 1 Pn 0 。在常 的情况 a b e 微分方程解的稳固性理论中，对于特点方程 P( ) 0 的根的实部符号这样一个问 题是极其重要的。假如给了方程组的均衡态之地点及其对应的特点多项式 P( )， 则欲是均衡态的地点稳固，其充要条件是特点多项式 P( ) 的所有根都有负实部。 可是，此刻的特点方程 aij bij e ij 0， aij bij e cij e  ij 0 已 不再是代数方程，可系统的稳固性仍旧与特点根的散布牢牢联系在一同，这两个 特点方程的全部根 i 都有 Re i 0 时，系统 n xi aij xj (t ) bij x j (t ) ， j 1 n ) ， i 1,2, , n0 xi aij x j (t) bij xj (t ) cij x j (t j 1 的零解是渐进稳固的。 不管是 aij bij e ij 0 仍是 aij bij e cij e  ij 0 ，都把它们放在 复平面上来考虑零点散布。记 为 z ，一般地，考虑方程 H ( z) h(z,ez ) 的所有零 点的散布状况，特别是零点全在左半平面的判断准则。 下边记 r 为 h( z, t) 对于 z 的次数（这里 t ez ）， s 为 h(z,t ) 对于 t 的次数，称形 如 azr t s 的项为主项（ a 为常数）。Понтрягин解决了两个问题： （i ）假如多项式 h(z,t ) 没有主项，则函数 H (z) 必有无穷个零点，且这些零点 可取随意大的正实部。（系统不稳固） （ii ）假如多项式 h( z, t) 有主项，为认识决前面提出的问题，一定研究函数 H (z) 在虚轴上的性态，也就是在 z iy 时的性态，这里 y 是实变元。明显函数 H ( yi ) 此时可分解成实部和虚部，即 H ( yi ) F ( y) iG ( y) ，此中： F ( y) f ( y,cos y,sin y) ， G ( y) g ( y,cos y,sin y) ， 且 f ( y,u,v) 与 g( y, u, v) 是多项式。要使函数 H ( z) 所有根都是负实部，充要条件是 使函数 F ( y) 和 G ( y) 的根都是实的，并且在这中间起码对某一个 y 值有不等式 G ( y)F ( y) F ( y)G ( y) 0 。 对于判断形如 F ( y) 的函数，它的所有根都是实的这样一个问题，能够依照下 列两个原则去解决： （1）要使函数 F ( y) 的所有根都是实的， 充要条件是从充足大的 k 开始，函数 F ( y) 在区间 2k y 2k 上有 4sk r 个根，这里所有的根都是实的。 （2）从充足大的开始，保证没有复根而只有实根。 定 义 1 ：设 h(z,t ) 是两 个变 量 z 和 t 的 拥有 实的 或复 的常 系数 的多 项式 h( z, t) amn zmt n ，当 ars 0 且指数 r 与 s 同时取它们的极大值时， 称项 ars zr t s 为 m, n 上述多项式的主项。 即若在上述多项式中拿出任何此外的一项 amn zmt n ，amn 0 则 有（ i ） r m ， s n ； （ii ） r m ， s n ； （iii ） r m ， s n 中之一。 i ）、（ii ）、（ iii ）都是在保证 r 与 s 最大，且出此刻同一项中。明显，不是所有的多项式都有主项。 1、缺主项时 ( , z) （也就是 h(z, t ) ）的零点散布 h z e 定理1 在 h( z,t ) m n 缺乏主项的状况下，函数 ( , z ) 必然有无