高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性.pdf

第 31卷第 6期 大 学 数 学 Vo1．31，N9．6 2015年 12月 CoIIEGE MATHEM ATICS Dec．2015 高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性 谢启 鸿 (复旦大学 数学科学学 院，上海 200433) [摘 要]总结了高等代数 中若f概念在基域扩张下的不变性 ，并给 出了一些相关的应用． [关键词]矩阵的秩 ；线性方程组的解 ；最大公因式；极小多项式；相似关系 [中图分类号]O151．21 [文献标识码]C [文章编号]l6721454(2O15)06—005006 高等代数中的许多概念都与所处的数域密切相关 ，一个典型 的例子就是多项式的可约性．例如， 多项式 z一2在有理数域 @上不可约 ，但在实数域 上就变成可约多项式了．然而，高等代数 中还有 很多概念与所处 的数域无关 ，即它们在基域扩张下保持不变．探讨概念在基域扩张下的不变性至少有 以下两点好处．一方面，可 以让学生了解概念在基域扩张时的性质 ，帮助学生从一个侧面增进对概念 的理解和掌握．另一方面 ，利用某些概念或结论在基域扩张下的不变性 ，可以将一般数域上的问题扩 张为复数域上的问题来考虑 ，从而可使讨论更加简洁，或者可利用复数域上某些重要 的理论和定理 (例如Jordan标准形理论)来解决问题． 本文将总结在高等代数课程 中出现的在基域扩张下具有不变性 的一些概念和结论 ，并给出一些相 关 的应用等．以下总是假设 Ⅱ 两个数域． 命题 1 设 A ∈M (F)，则 r(A)一rK(A)，其中r(A)是A的秩 ，rK(A)是将A看成是数域 Ⅱ≤ 上的矩阵的秩． 证 由相抵标准形理论可知 ，存在非异阵P ∈M，(F)，非异阵Q∈M (F)，使得 PAQ一(L。 其中r— (A)．由于P和 。都可以看成是 KIT_的矩阵，故P也是 Ⅱ 的非异阵，同理 Q也是 Ⅱ 的 非异阵．因此 ／J 0 、 A一 PA‘Q一 10o)一 一 A‘ 另外 ，利用秩的子式判别法 (参考 [1]的定理 3．6．2)可以给出更加直接的证 明． 向量组的线 性相 关 性 或线 性 无 关性 依 赖 于 基域 的选 取．例 如，考 虑 复数 域 C 中的元 素 组 {1，i一 一r)，容易验证它们是 一线性无关的，但它们是 c一线性相关的．然而下面的推论告诉我 们 ，只要一组列 向量都落在小一点的基域中，那么它们的线性相关性或线性无关性都会在大一点的基 域中得到保持． 推论 1 设数域 肚 的 维列向量组 { ，口 “，口}的秩为r，若将 { ，a ，…，a}看成是数域 上的列 向量组，则它们在 Ⅱ 的秩仍为 r． 证 设A一 (口，口，…，口)∈M (IF)，则 r(A)一r．由命题 1可得 1K(A)一 ，．，由此即得结论． 由命题 1和推论 1可得齐次线性方程组的基础解系在基域扩张下的不变性． [收稿 日期]2Ol509l6 [基金项 目]国家 自然科学基金项 目 第 6期 谢启鸿 ：高等代数 中若干概念在基域扩张下的不变性 51 命题 2 设A∈M ×( 的秩为 r，砸上的齐次线性方程组Ax一0的基础解系为 ，…，’，一 ，其中 t，是 吐 的 维列向量，若将A看成是 Ⅱ 的矩阵 ，则 Ⅱ 的齐次线性方程组 一0的解为 c’，+… +c一 ，， ，其中c，…，c… 是 肼 任意的数． 证 设 V 是 Ⅱ 的齐次线性方程组 一0的解空间，根据线性方程组解的理论以及命题 1可知 ， dimVK— — rK(A)一 ”一 rF(A)一 n— r． 由于 t， “，叩… 都适合方程Ax一0，故它们