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傅里叶解的物理意义及吉他音高同其各参数之间关系 ———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期： 数学物理方程 班级：物理112班 学号：1151002232 姓名：王 大 伟 傅里叶解的物理意义及吉他音高同其各参数之间关系 摘要：物理、力学中有一类所谓振动和波的现象，如弹性波、光波、电磁波，等等，虽然各有其特殊规律，但有一个共性——波动，运用傅里叶解法〔也称为别离表变量法〕解有界弦振动。将傅里叶解级数的每一项变换得到一种简谐振动方程，根据其方程的特点讨论一维波动方程傅里叶解物理意义，弦的基频决定所发声音的音调，在弦乐器中，当弦的质料一定〔即一定 〕时，通过改变弦的绷紧程度〔即改变张力T的大小〕，就可以调节基频的大小，从而改变音调。 关键词：波动方程，别离变量，音高 傅里叶解的物理意义及音高同其各参数之间关系 一维波动方程的建立 均匀弦的微小振动：弦乐器〔如二胡、提琴〕的弦在弓的作用下来回振动。但弓所接触的知识弦的很小一段，似乎应该只引起这个小段的振动，但实际上振动总是传播到整根弦，是弦的各处都振动起来。 下面讨论这个均匀柔软而富有弹性的细弦的微小的振动。 一根拉紧的弦，他不振动时是一条直线我们就取这条直线作为x轴建立坐标系，如图1-1所示，并以u表示弦的横向位移。 y C B A X 图1-1 首先我们对上述问题中的有关物理量名词进展数学上的描述： “均匀〞是指弦的线密度=常数。 “拉紧〞表示现在绷紧以后，相邻小段之间有拉力，称为张力。 “柔软〞是指弦不低抗弯，在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都能保持静止，所以张力总是沿着弦振动波形的切线方向，张力的法线方向无分力 。 “细弦〞是指弦的横向线速度，远远小于弦的长度〔dl〕。 “横振动〞是指弦上的各点的振动方向在同一平面内，显得横向位移u与弦的平衡位置x轴相垂直。 “微小横振动〞是指对弦上充分接近的两点和，它们振动位移差是很小的，即在振动过程中弦的各点处的斜率。 通过推导得到： 此即一维的波动方程。因为张力的弦振动的加速度很大，即，g可忽略。所以 〔1-1〕 其中 二、运用别离变量法解齐次弦振动方程的混合问题 〔1-2〕 〔1-3〕 式〔1-1〕满足边界条件〔1-2〕和初始条件〔1-3〕的情况下的解为： 〔1-4〕 其中 解的物理意义 下面我们对傅里叶级数解的物理意义进展分析。为此我们先把系数 每一项写成 如图1-2所示，其中 图1-2 故 令 我们知道，形如的函数表示一振动，它的圆频率为，初相位为，因此 代表这样的振动波：在所考察的弦上各点一同一频率做谐和振动，其相位一样，而振幅依赖于点x的位置。 在这些点上，振幅=0。这些点称为振动波的节点，或称为波节。而在这些点上，振幅=到达最大值，这些点称为振动的腹点，