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4、典型例题 例1：求下列函数的定义域并画出定义域的图形 （1） （2） 例2：已知 ，求 。 例3：求极限 。 例4：求下列函数的偏导数 （1） 在点 处 （2） 例5：求 的二阶偏导数。 4、典型例题 例6：求下列函数的全微分 （1） 在点 处 （2） （3） 确定的隐函数 例7：设 ，其中 有连续的偏导数，证明： 。 例8：求 的极值。 例9：要造一个体积为 的有盖长方体水箱，水箱的长、宽、高如何设计， 才能使用料最省？ 4、典型例题 例10：求下列二重积分 （1） （2） （3） 由 围成 （4） 由 围成 （5） 围成的第一象限内的区域 （6）求半球体 在圆柱 内那部分的体积 4、典型例题 （7） 例11：交换积分次序 （1） （2） 无穷级数 七 1、数项级数 数项级数的基本概念 （1）定义： 称为常数项级数， 为通项。 （2）部分和：前n项和 称为部分和。若 存在， 称 收敛于 ；若 不存在，称 发散。 数项级数的性质（级数收敛的必要条件） 若 收敛，则 ； 若 ，则 发散。 1、数项级数 正项级数 （1）定义：若 （不全为零），则称 为正项级数。 （2）比较判别法 设 和 都是正项级数，且 ，则 ①若 收敛，则 收敛； ②若 发散，则 发散。 （3）比较判别法的极限形式 设 和 都是正项级数，且 （ 的常数），则 两个级数具有相同的敛散性。 1、数项级数 （4）比值判别法 设 是正项级数，且 ，则 ①若 ，则级数收敛； ②若 ，则级数发散； ③若 ，则级数可能收敛，也可能发散。 任意项级数 （1）定义：若 为任意实数，则称 为任意项级数。 若 ，则称 为交错级数。 1、数项级数 （2）莱布尼茨判别法 若交错级数 满足条件： ① ；② ， 则该级数收敛。 （3）绝对收敛和条件收敛 设 为任意项级数，则 ①若 收敛，则 绝对收敛； ②若 发散，而 收敛，则 条件收敛。 1、数项级数 几个重要级数 （1）等比（几何）级数： 当 时，级数收敛于 ；当 时，级数发散。 （2）P-级数： 当 时，级数收敛；当 时，级数发散。 特别地，当 时， 为调和级数，是发散的。 （3）莱布尼茨级数： 是收敛的。 2、幂级数 函数项级数的基本概念 （1）定义： 称为函数项级数， 为通项。 （2）收敛点和收敛域：当 时，得到的常数项级数 收敛，则称 是函数项级数 的一个收敛点；所有收敛点组成的集合称为收敛域。 （3）发散点和发散域：当 时，得到的常数项级数 发散，则称 是函数项级数 的一个发散点；所有发散点组成的集合称为发散域。 （4）和函数：对于收敛域内的任意一个 ，函数项级数都有一个确定的和 称 为函数项级数