高一数学上册《正切函数的性质与图象》教学设计.docVIP

PAGE 1 单元教学设计：5．4．3正切函数的性质与图象 一、内容和内容解析 1．内容 正切函数的性质与图象． 2．内容解析 本节是在学生学习了正弦函数、余弦函数图象及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面研究正弦函数、余弦函数图象与性质的方法类似．本节内容要求学生对所学知识能融会贯通和运用，以及对学习函数规律进行总结和探索． 本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图象与性质进行研究，并应用函数性质解决问题．因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养． 基于以上分析，本单元的教学重点：正切函数的图象与性质． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性．并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题； （2）会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，借助图象理解正切函数在上的性质； （3）通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法． 2．目标解析 达成上述目标的标志是： （1）通过类比如何用正弦和余弦的三角函数线得出它们的函数图象，进而知道如何在单位圆中表示角的正切． （2）通过探究正切函数性质的过程，提升学生的逻辑推理素养． （3）经历绘制正切函数的图象的过程，学会通过图象提炼相关的性质的方法，提升学生的直观想象素养． 三、教学问题诊断分析 通过前面的学习，学生对研究三角函数的性质有了一定的经验积累，教学过程中一开始设置“思考”，用两个问题引导学生对函数性质的研究经验进行概括总结，并尝试用不同的方法进行创造性的实践． 归纳起来可以有两种思路：一是先根据三角函数的定义，借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质；二是以定义为出发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助图象的观察进一步获得函数的其他性质，了解这些思路可以更有效地研究函数的图象与性质，全面深入地理解数形结合的思想． 由于一个角的正切值是这个角的终边与单位圆交点的坐标比值，难以直接利用正切值的几何意义对正切函数进行几何作图，对正切函数图象与正切定义之间的内在联系在理解上有一定的难度．为突破这一难点，采取了第二种思路． 根据以上分析，确定本节课的教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题． 四、教学过程设计 5．4．3正切函数的性质与图象 (一) 复习回顾 问题1：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何来表示？ 设是一个任意角, ，它的终边与单位圆相交于点． 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即 ． （二）问题探究 问题2：(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ （2）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 师生活动：正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路：绘制函数图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质． 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．思路如下： 证明函数性质—函数部分图象—函数整体图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质． 1．周期性 由诱导公式，，且，，可知，正切函数是周期函数，周期是． 2．奇偶性 由诱导公式，，且，，可知，正切函数是奇函数． 设计意图：通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图象与性质的方法，从“数”的角度先得到简单结论，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养． 问题3：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数，的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 问题4：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出函数，的图象？ 师生活动：设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点B作 QUOTE x 轴的垂线，垂足为M；过点作 QUOTE x 轴的垂线与角的终边交于点T，则．由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角 QUOTE x 的正切值．我们可以利用线段AT画出函数，的图象，如图2所示． 图1 图2 观察图2可知，当时，随着 QUOTE x 的增大，线段AT的长度也在增大，而且当 QUOTE x 趋向于 QUOTE π2 时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数，的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线． 问题5：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的