数学：1.2.2复合函数的求导法则教案.docx

§ 1.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导 数乘以中间变量对自变量的导数之积. 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确. 一?创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 y c y 0 n * y f (x) x (n Q ) n 1 y nx y sin x 1 y cosx y cosx 1 y sin x y f (x) ax x y a In a (a 0) y f (x) ex x y e f (x) log ax 1 厂 f (x) loga xf (x) (a 0且a 1) x l n a f (x) In x f(x) 1 x (二)导数的运算法则 导数运算法则 f(x) g(x) f(x) g(x) f (x) g(x) f(x)g(x) f (x)g(x) I ~~)g(~- 2~)g(~- (g(x) 0) g(x) g(x) (2)推论：cf (x) Cf (x) （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二?新课讲授复合函数的概念般地，对于两个函数 y f(u)和u g(x)，如果通过变量u , y 二?新课讲授 复合函数的概念 表示成x的函数，那么称这个函数为函数y f(u)和u g(x)的复合函数，记作 y f g(x)。 复合函数的导数 复合函数y f g(x)的导数和函数 y f(u)和u g(x)的导数间的关 系为yx yu ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 若 y f g(x),则 y f g(x) f g(x) g (x) 三.典例分析 例1求y = sin (tan x2)的导数. 【点评】 x ax2 x a x2 2ax 的导数. 【点评】本题练习商的导数和 复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例3求y = sin 4x + cos 4x的导数. 【解法一】 4 y = sin x + cos 4 2 x = (sin x 2 2 + cos x) — 2sin 2 2 cos x = 1 — 1 2 sin 2 x 2 1 (1 — cos 4 x) 3 1 x. y =— sin 4 =1 — =— + — cos 4 x. 4 4 4 【解法二】 4 y = (sin x) + (cos 4 x) 3 =4 sin x(sin x) + 4 cos 3 x (cos x) =4 sin 3 x cos x , 3 “ + 4 cos x ( —sin x) = 4 sin x cos x (sin 2 x —cos x)= =—2 sin 2 x cos 2 =—sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形 准确.解法二是利用复合函数求导 数，应注意不漏步. 例4曲线y = x (x + 1) (2-x)有两条平行于直线 y = x的切线，求此二切线之间的距离. 3 2 . 2 【解】y = — x + x + 2 x y =- 3 x + 2 x + 2 2 1 令 y = 1 即 3 x - 2 x -1 = 0,解得 x =——或 x = 1. 3 1 14 于是切点为 P ( 1, 2), Q (——,——), 3 27 过点P的切线方 程为，y — 2= x — 1即 x — y +1 = 0. 14显然两切线间的距离等于点 Q到此切线的距离，故所求距离为271| 14 显然两切线间的距离等于点 Q到此切线的距离，故所求距离为 27 1| =16,2 27 四?课堂练习 求下列函数的导数 ⑴ y =sin x3+sin 33x; (2) y Sin 2x ；(3) log a (x2 2) 2x 1 求In(2x2 3x 1)的导数 五?回顾总结 六?布置作业