正余弦定理的综合应用及答案精编版.docx

正余弦定理的综合应用及答案精编版  正 余 弦 定 理 的 综 合 应 用 1.【河北省唐山一中2018届二练】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c ,且 = 5/3,coSi4sinB + (c-sin A)cos(A + C)= 0 . (1)求角B的大小；(2)若AABC的面积为—，求smA+sinC的值. 【北京市海淀区2018届高三第一学期期末】如图，在AABC中，点D在4C边上，且 AD = 3DC, 43 = 77, ZADB = -f ZC = -. (1 )求DC的值; (II )求 tanZABC的值. ° 【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中 条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出 在利用正余弦定理列岀方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算岀的边 角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与已知的联系. 【海南省2018届二模】己知在AABC中，a, b, c分别为内角4, B, C的对边，且 y/3bcosA + osinAcosC +csinAcosA = 0. 求角A的大小； 若ci = *, B = — f 求AABC的面积. 12 【湖北省天门等三市2018届联考】在△/庞中，角4 B, C所对的边分别为自，b, c, 己知 cosC + cosAcosB = /3siiiAcosB . (I )求cosB的值；(II)若+c = l,求b的取值范围. 【?山东省淄博市2018届高三3月模拟】在中，角儿眈对边分别为砧,c,己知 2AB-AC = a2-(b + c)2. (1)求角力的大小；(2)若a = 6,b = 2?,求的面积. 【福建省南平市2018届第一次质检】在WC中，a,b,c分别为角砧C的对边，且fi = |,c = 4 若0 = 6,求sinC及Sgsc； 若M在线段％上，^BD=DE = ECfAE=2^3BDf求加)的长. 7.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，16】在ABC中，a, b, c分别是角4, ? 小砧 z 亠 cos C 2a-c 口 _ B , C的对以， =—-—,且d + c = 2? cosB b （1）求角（2）求边长b的最小值. 8.【河北衡水中学2017届上学期一调，17】（本小题满分12分） 在AABC中，a, b, c分别为角A, B , C所对的边，= —^― = —^― cos A 2cosB 3cosC （1） 求角4的大小； （2） 若AABC的面积为3,求a的值. 正余弦定理的综合应用答案 1【分析】（1）先根据两角和正弦公式，三角形内角关系及诱导公式得smC = ccosB,再 根据正弦定理得詈“I严詣⑵由MBC的面积为￡得 c 十”a b2 =(/3l = a2 + c2 - 2accosB = a2 + c2 -ac = (a + c)2 - 3ac — 皿=2,再根据余弦定理得 L丿 V 7 解得 sin A + sin C = (a + c) = — a+c = 3,因此结合正弦定理得 b 2 【解析】(I )如图所示，乙DBC= ZADB一乙C = f = ：, 故ZD3C = ZC, DB = DC 设￡C = x,则DB = x, DA = 3x. 在AAPB中，由余弦定理 AB2 = DA2 + DB2- 2DA ? DB ? cosZADB, 即7 =(3x)2 + x2-2-3x-x-| = 7x2 ,解得x = l, DC = l. (II)在 AAPB 中，由 得 Z4BD = 60。，故 ZABC = ZABD+ZDBC = - + -=-,在 AABC中，由正弦定理 3 6 2 AC _ AB 即 4 _ V7 sinZABC ~ smZACB sinZABC 一 丁 2 sinZABC =2,Eh ZABC g得 sinZABC = 2 ,Eh ZABC g 得 cosZABC = V3 77 tanZABC = -^= = --^. /3 3 【解析】(1)由 J^bcosA + asinAcosC +csiiiAcosA = 0及正弦定理得,sui4 (siwAcosC+cosAsinC) = -/3siiiBcosA , 即 sinAsin(A + C)= -/3siii5cosA , 又sin(4+C)= sinB0,所以tanA = -/3 ,又 Aw(0,/r),所以 A = — . (2)由(1)知A =—,又B =—,易求得C = -, TOC \o 1-5 \h \z 3 12 4 在AABC中，由正弦定