第四节 函数的微分.ppt

2007年6月 华南理工大学数学学院大学数学部 * 微分的定义 微分的几何意义 微分公式与运算法则 小结 思考题 作业 第四节 函数的微分 (differential) 微分在近似计算中的应用 函数的微分 导数 微分 导数与微分 表示函数在一点处由自变量所引起 的函数变化的快慢程度. 是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值. 有着密切的联系. 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 1.问题的引出 函数的微分 实例 线性函数(linear function) 一、微分的定义 的线性(一次)函数, 很小时可忽略. 的高阶无穷小, 再如, 既容易计算又是较好的近似值 函数的微分 一定条件, 线性函数, 对一般函数 则无论在理论分析上还是在实际 函数的微分 则函数的增量 可以表示为 如果存在这样的 近似公式, 应用中都是十分重要的. 定义 2. 微分的定义 如果 则称函数 可微(differentiable), A为微分系数 函数的微分 记作 微分(differential), 并称 为函数 定理 证 (1) 必要性 3. 可微的充分必要条件 即有 函数的微分 满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢? 微分与导数有何关系呢? 下面的定理回答了这些问题. (2) 充分性 求导法又叫微分法 函数的微分 从而 其微分一定是 定理 即有 注 微分的实质 函数的微分 线性函数, 线性主部. 主部, 所以在 条件下, 的条件下, 近似代替增量 其误差为 因此, 有精确度 较好的近似等式 结论 在 导数称为微商 函数的微分 称为函数 的微分, 记作 称为自变量的 微分, 记作 注 例 解 函数的微分 几何意义 (如图) 二、微分的几何意义 函数的微分 对应的增量, 增量时; 是曲线的纵坐标 就是切线纵坐标 求法 1. 基本微分公式 三、微分公式与运算法则 函数的微分 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 2. 运算法则 函数的微分 例 解 例 解 函数的微分 结论 微分形式的不变性 3. 复合函数的微分法 此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算. 函数的微分 无论x 是自变量还是中间变量, 函数 的微分形式总是 例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性. 函数的微分 例 例 解 函数的微分 例 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 函数的微分 函数的微分 例 解 法一 把 作为一个整体, 关于 有 求导, 法二 把导数看作微分之商, 分子,分母分别求微分, 有 用了微分形式不变性. 例 解 函数的微分 例 解 四、微分在近似计算中的应用 函数的微分 1. 计算函数增量的近似值 2. 计算函数的近似值 函数的微分 曲线 的切线的表达式. 通常称为函数 的一次近似或线性近似. 例 解 函数的微分 函数的微分 常用的几个一次近似式 函数的微分 2. 计算函数的近似值 * *