清华大学2019年自主招生数学试题.docx

PAGE PAGE # 清华大学自主招生数学试题 2019.06 一个四面体棱长分别为 6, 6, 6, 6, 6, 9，求外接球的半径. 1 2 2 求值： (1 sin x)x dx. 1 已知P为单位圆上一动点， A(0,2)，B(0, 1)，求|AP| |BP |2的最大值. TOC \o 1-5 \h \z AB为圆O的直径，CO AB，M为AC中点，CH MB，则下列选项正确的是( ) A. AM 2OH B. AH 2OH C. △ BOH BMA D.忘记 A {1,2,3, ,15} , B {1,2,3,4,5} , f 是 A 到 B 的映射，若满足 f (x) f(y)，则称有 序对(x,y)为“好对”，求“好对”的个数最小值 . 若对 c R , a,b，使得丄回 他 f (c)成立，则称函数f(x)满足性质T ,下列 a b 函数不满足性质T的是( ) 3 2 1 x 1 A. f (x) x 3x 3x B. f (x) — C. f (x) e D. f (x) sin(2x 1) x 1 r r r r 1 r r r r u r u 已知 |a | |b| 1 , a b , (c a)(c b) 0 ,若 |d c| 1，求 |d | 的最大值. 2 2 2 8.椭圆— I 1，过F(2,0)的直线交椭圆于 A、B两点，点C在直线x 3上，若 6 2 △ ABC为正三角形，求△ ABC的面积. 2 2 2 9.圆x y 4上一点(x0,y°)处的切线交抛物线 y 8x于A、B两点，且满足 AOB 90，其中O为坐标原点，求X。. 4444 10.设a为4444 各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和， 求c的值. 12.在三棱柱 ABC ARG中，已知 ABC 90 , AB 6, BC BBi 3/5 ,动点P在 线段RC上，求A,P BP最小值. 11.实数 11.实数 x、y满足 x2 (y 2)2 13.若集合A、B是正整数的一个二划分，则( ) 集合A中不存在三项等差，集合 B中不存在无穷项等差 集合A中不存在三项等比，集合 B中不存在无穷项等比 忘了 忘了 14.数列｛an｝满足：a23 14.数列｛an｝满足：a 2 3，an 1 an 3an 4，则( A. ｛an｝单调递增 B. ｛an｝无上界 C.忘了 D. lim n 15.若正实数a b 满足 ab(a 8b) 20 ,则a 3b的最小值为 16.设 16.设 f(x) |x 1| |x 3|，g(x) 2ex，求 f (x) g(x)最小值. 17.设x, y N，则方程丄丄x y3100的解的个数为 18.令 zcos2k 17.设x, y N，则方程丄丄 x y 3 100 的解的个数为 18.令 z cos 2k isin心 (i 1,2,3,4,5)，若 a (Zi Zj)，则( i j A. a〔a3 a4 125 B. 55 2 C. 82 84 125 3 3 0，求x y的范围. 3 3 19.若实数x、y满足x 8y 6xy 1 参考答案 1.设 AB AC AD BC BD 6, CD 9 ,易知△ BCD的外接圆半径为r1 12 , 同理可得厶ACD的外接圆02的半径为r2 12 7， 设外接圆的圆心为0，易知002 则外接球半径R騙~OOF ￡ 144 7 3.3 ,???外接球半径为 3.3. 1 2 2 1 1 2 2. /1 sin x)x dx ( dx 1 2 1 x cos2xdx)，由分部积分法可知: x2 cos2xdx ^(x2s in2x 2 1 2 (x sin2x 2 1 2 1 2 2 1 2 x dsin2x (x sin2x sin2xdx )二一(x sin2x 2xsin2xdx) 2 2 2 1 2 xd cos2x) (x sin2x 2 sin2x xcos2x x cos2x cos2xdx) 1 2 2 1 1(1 si n2x)x2dx ( 1 2 3 2 ) -^(si n2 3 2 2cos2)) 1 -(sin2 2cos2). 3 4 3.设 P(cos ,sin )，在 S | AP| | BP |2 cos2 (sin 2)2[cos2 (1 sin )2] 整理得：S 8 (1 ；n )2(4 sin ), 4 由三元均值不等式可知: S 8 W”)3 1 当且仅当sin 1时, 等号成立，则|AP| 2 |BP|的最大值为 4.设圆0的半径为2， 易知 BM 帀,BH , AM BC 2、、2， 在厶OBH与厶ABM中，由余弦定理可知： cos ABM 10 2 16 8.10 64 o