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试卷第 PAGE 13 页共 NUMPAGES 13 页 高中数学函数模型的应用试卷 姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________ 题型 选择题 填空题 解答题 判断题 计算题 附加题 总分 得分 评卷人 得分 1、 国际上钻石的质量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其质量w（克拉）的平方成正比，且一颗质量为3克拉的该种钻石的价值为54?000美元. （1）写出v关于w的函数关系式； （2）若把一颗钻石切割成质量比为1∶x x ≥ 1的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式； （3）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按质量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大. （注：价值损失的百分率=原有价值-现有价值原有价值×100%，在切割过程中的质量损耗忽略不计）2、 如图，已知矩形油画的长为a，宽为b，在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一副矩形壁画，设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S. (1)用x，y，a，b表示S； (2)若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大，求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值. 3、某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， 当工厂和仓库之间的距离为_____千米时，运费与仓储费之和最小， 最小值为_____万元.4、 某生态园要对一块边长为1?km的正方形区域ABCD进行规划，设计了如图所示的三条参观路线.具体设计方案如下：从A出发到达BC边上的P点，然后从P点出发到达CD边上的Q点，再直接回到A点，其中要求∠PAQ=45°，设∠PAB=θ，tan?θ=t. 1用t表示路径AQ的长度； 2将△APQ的面积表示为t的函数ft，并注明其定义域； 3欲使△APQ的面积最小，应如何确定点P的位置. 5、 如图，要设计一张矩形广告，该广告含大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18?000? cm2，四周空白的宽度为10?cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5?cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？ 6、 设τ=( x 1,x2,?, x 10)是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义Sτ=∑ k = 1 10|2xk-3x k + 1|,其中x11=x1. (Ⅰ)若τ=10987654321,求Sτ的值； (Ⅱ)求Sτ的最大值； (Ⅲ)求使Sτ达到最大值的所有排列τ的个数.7、 某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部都有球台可供租用，使用球台的收费标准为：甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月收费，一个月中30小时以内（含30个小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时另收2元.张先生准备下月从这两家中的一家租一张球台进行乒乓球训练，其训练时间不少于15小时，但不超过40小时.请问张先生选择哪个俱乐部比较合算，为什么？8、 一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需要的时间）t等于（ ） A.lg0.50.92  B.lg0.920.5  C. lg 0.5 lg 0.92  D. lg 0.92 lg 0.59、 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米， 体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元 （π为圆周率）. （Ⅰ）将V表示成r的函数Vr,并求该函数的定义域； （Ⅱ）讨论函数Vr的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.10、 在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是 （ ） A. y=m 1 - x 2