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正方形45°半角模型的13个结论
正方形半角模型13个结论
如图,已知正方形,点、分别在、上,且。
图1结论1:;
图1
证明:延长EB至G,使BG=DF。
先证明(SAS),
推导出AG=AF,∠GAE=∠EAF=45°,
在证明(SAS),
即可证明。
结论2:,;
证明:由结论1可知:,
所以∠GEA=∠FEA,
可证。
同理可证:。
结论3:;
证明:由结论1可知:,
所以。
结论4:;
证明:由结论1可知:,
因为,
所以
图2
图2
结论5:(见图2);
证明:由结论1可知:,
所以,
因为,
所以。
结论6:(见图3、4);
图4图
图4
图3
证明:如图4,作,,连接。
先证明(SAS),
推导出,
在证明(SAS),
推到出,
在中:,即。
图3结论7:;
图3
证明:通过倒角证明两个角相等,推导出相似。
因为
所以。
同理,其他结论都可以进行证明。
图5结论8:(见图5);
图5
证明:连接,
因为
所以
因为
所以,
所以
因为,
所以
所以
同理可证,
所以。
图3结论9:(见图3);
图3
证明:因为,
所以
因为,
所以。
结论10:四点共圆;四点共圆;四点共圆;
图6 图7 图8
图6 图7 图8
证明:因为结论7已证
所以
所以弦所对圆周角相等,
所以四点共圆,
同理可证四点共圆;
又因为四点共圆,
所以为圆的直径,
所以
所以
所以四点共圆。
结论11:、为等腰直角三角形;
证明:因为四点共圆,
所以为圆的直径,
所以
因为
所以为等腰直角三角形;
同理可证为等腰直角三角形。
图
图3
结论12:;
证明:因为,
所以
由结论8可知,
所以。
结论13:当时,取得最大值;
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