第十一章11.411.4.2第一课时平面与平面垂直的判定2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型.docx

11.4.2 平面与平面垂直 第一课时 平面与平面垂直的判定 课标要求 素养要求 理解二面角及其平面角的概念，能确 认图形中的已知角是否为二面角. 掌握二面角的平面角的一般作法，会 求简单的二面角. 掌握两个平面互相垂直的判定定理， 会用判定定理证明面面垂直. 通过二面角的平面角的求法及两个平面 垂直的判定，培养学生的直观想象素养 和逻辑推理素养. 课前预习 知识接究 教材知识探究 协憎境引入 我们常说“把门开大一点”，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面形成了 一个角. 问题 如何描述和度量门所在平面与墙面所形成的角？ 提示用二面角的平面角来度量. 匕翱知极理 1.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角 .这条直线称为 二面角的棱这两个半平面称为二面角的面—.如图(1)，以AB为棱，a和B为半平 面的二面角，通常记作二面角 a— AB— B C. C.平面ABCX平面DBC D.平面ADC丄平面DBC (2)二面角的平面角：如图(2),在二面角a— I — B的棱上任取一点0,以0为垂 足分别在半平面a和B内作垂直于棱的射线 0A和0B,则射线0A和0B所成的 角称为二面角的平面角?二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大 小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. ⑶一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的 4个二 面角中，不大于90°的角的大小. 2.平面与平面垂直的判定 定义：一般地，如果两个平面 a与B所成角的大小为90°,则称这两个平面互 相垂直，记作a丄B 判定定理： 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直，用符号表 示为：若I? a， I丄B，贝U aX B 教材拓展补遗 ［微判断］ 1.二面角的平面角只能不大于 90°.(X ) 提示 二面角的平面角，指与棱垂直的两射线OA和OB所成的角，可以为钝角. 2.—个二面角的平面角只有一个.(X ) 提示 二面角的平面角可作无数个，可在棱上任取一个点作为顶点 3.如果 a? a，b? B ,且 a丄b,贝U a丄 3(X ) 提示 a与B平行时，也能找到符合条件的直线. ［微训练］ 1.空间四边形ABCD中，若AD丄BC , BD丄AD，那么有( ) A.平面ABC丄平面ADC B.平面ABC丄平面ADB AD 丄 AD 丄 BC 解析 AD丄BD BCG BD = B AD丄平面BCD ?平面ADC丄平面DBC. 又AD?平面ADC 答案 D 不能肯定两个平面一定垂直的情况是（） 两个平面相交，所成二面角是直二面角 一个平面经过另一个平面的一条垂线 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 平面a内的直线a与平面B内的直线b是垂直的 解析 直二面角表示两平面垂直，B是判定定理，C也符合判定定理. 答案 D ABCD是正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AB,则二面角B-PA— C的平面角 的度数为 . 解析 t PA 丄平面 ABCD ,AB?平面 ABCD,AC?平面 ABCD，/. FAX AB, FA 丄 AC， 即/BAC即为二面角B— PA— C的平面角，又在正方形中/ BAC= 45 °故所求 二面角的平面角为45. 答案 45° ［微思考］ 二面角的棱与二面角的平面角所在平面有什么关系？ 提示 垂直，因为二面角的平面角的两边都与棱垂直. 二面角的平面角有什么特点？ 提示 有三个要素：①角的顶点在棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面 题型一用定义判断两平面垂直 【例1】 如图，在四面体ABCD中，BD= 2a, AB= AD = iJ CB = CD = AC = a.求证：平面 ABD丄平面BCD. 证明取BD的中点E,连接AE, CE, 因为△ ABD与厶BCD是等腰三角形， 所以AE丄BD , BD丄CE. 所以/ AEC是二面角A- BD-C的平面角. 1 V2 在厶ABD 中，AB = a, BE = qBD = ^a, 所以 AE= .. AB2 — BE2=￥a. 同理 CE=弓纭.在厶AEC 中，AE= CE= ^a, AC = a. 所以 AC2= AE2 + CE2，所以 AE丄CE,所以/ AEC = 90 ° 所以平面ABD丄平面BCD. 规律方法 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直， 其判定的 方法是： ⑴找出两相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角 【训练1】 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段 SA, SB, SC,且/ ASB=Z ASC= 60°, / BSC= 90°,求证：平面 ABC丄 平面BSC. 证明 如图，取BC中点D，由SA= SB= SC, / ASB=/ ASC