备战2022 中考数学 人教版 专题三 开放探索问题（教师版）.docVIP

PAGE 专题三　开放探索问题 题型一　条件开放探索 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F. (1)求证：∠DBF＝2∠CAD； (2)连接OC，CD.探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程． 【思路点拨】(1)根据圆周角定理可知∠CAD＝∠CBD，要证明∠DBF＝2∠CAD，只要证明∠DBF＝2∠CBD即可，由∠DBC＝∠ABC，可知∠ABD＝2∠DBC，所以只要证明∠DBF＝∠ABD即可，由切线的性质和题意，可以得到∠ODB＝∠DBF，再根据OD＝OB，即可得到∠ODB＝∠OBD，然后即可得到∠DBF＝∠ABD，从而可以证明结论成立； (2)先写出∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，然后根据∠CAB的度数和菱形的判定，证明四边形COBD为菱形． 【自主解答】(1)连接OD， ∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE， ∴∠ODF＝∠BFD＝90°， ∴OD∥BF， ∴∠DBF＝∠ODB. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD. ∵∠DBC＝∠ABC， ∴∠OBD＝2∠CBD. ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠DBF＝2∠CAD. (2)当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形． 证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°. ∵∠DBC＝∠ABC，∴∠ABD＝2∠ABC＝60°， ∴∠DAB＝30°. ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠DCB＝30°. ∴∠DCB＝∠ABC， ∴CD∥AB. ∵∠COA＝2∠ABC， ∴∠COA＝∠ABD， ∴OC∥BD， ∴四边形COBD是平行四边形． 又∵OC＝OB， ∴四边形COBD是菱形． 1．常考题型： (1)补充条件型问题． (2)探索条件型问题． (3)条件变化型问题． 2．解决方法：从所给的结论出发，设想出合乎要求的条件，利用所学的定理进行逻辑推理，从而确定满足结论的条件． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O. (1)求证：△OEC为等腰三角形； (2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由． 【解析】(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. ∵△ABC平移得到△DEF， ∴AB∥DE， ∴∠B＝∠DEC， ∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC. 即△OEC为等腰三角形； (2)当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形． 理由如下：∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC. ∵△ABC平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴AD∥EC，AD＝EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形． 题型二　结论开放探索 【典例2】【问题情境】在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC. 【特例探究】如图1，当DM＝DN时， (1)∠MDB＝______度； (2)MN与BM，NC之间的数量关系为______； 【归纳证明】如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】△AMN的周长与△ABC的周长的比为______． 【思路点拨】【特例探究】(1)先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)，得∠BDM＝∠CDN＝30°； (2)由(1)得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM＋NC； 【归纳证明】先证△DBM≌△DCE(HL)，得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN(SAS)，得MN＝NE，可得结论MN＝BM＋CN； 【拓展应用】由(1)(2)得：MN＝BM＋NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【自主解答】【特例探究】(1)∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN. ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°. ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°. 答案：30 (2)由(1)得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN(HL)， ∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM＋NC， 即MN＝BM＋NC； 【归纳证明】猜想：MN＝BM