建立空间直角坐标系的几种方法.pdf

建立空间直角坐标系的几种方 法 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体 几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往 需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图 形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系 或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是 运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种 常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构 建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， AA1＝2，底面 ABCD 是直角梯形， ∠A 为直角， AB∥CD，AB ＝4，AD ＝2 ，DC＝1，求异面直 线 BC 1 与 DC所成角的余弦值． 解析： 如图 1，以 D 为坐标原点， 分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 、y 、z 轴建立空间 直角坐标系，则 C 1 （０，1，2）、B （2，4 ， ０）， uuuur uuur ， ， CD (0， 1，0) ∴BC1 ( 2 3 2) ， ． uuuur uuur 设 BC 与 CD 所成的角为 ， 1 uuuur uuur g BC1 CD 3 17 则 cos uuuur uuur ． BC1 CD 17 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2 ，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AB⊥侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的 一点， EA⊥EB AB 2 1 1 ．已知 ，BB ＝2，BC＝1， ．求二面角 A －EB 1 1 1 ∠BCC＝ －A 的平面角的 3 正切值． 解析：如图 2 ，以 B 为原点， 分别以 BB 1、 BA 所在直线为 y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平 面 AB1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系． 由于 BC＝ 1，BB1 ＝2 ，AB ＝ 2 ， ∠BCC1 ＝ ， 3 ∴在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，有 B （０， ０，０）、A （０，０， 2 ）、B1 （０，2 ，０）、 3 1 3 3 ， ， ， ， c 0 、C1 0 ． 2 2 2 2 3 1 3 设 ， ， 且 E a 0 a