参数方程和普通方程互化..doc

(整理)参数方程和一般方程的互化. (整理)参数方程和一般方程的互化. PAGE / NUMPAGES (整理)参数方程和一般方程的互化. 优选文档 参数方程和一般方程的互化 授课目的 1．理解参数方程和消去参数后所得的一般方程是等价的． 2．基本掌握消去参数的方法． 3．培养学生观察、猜想和灵便地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转变能力． 授课重点与难点 使学生掌握参数方程与一般方程之间的互化法规，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法． 授课过程 师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题： ( 放投电影 ) 由圆外一点 Q(a，b) 向圆 x2+y2 =r 2 作割线，交圆周于 A、B 两点，求 AB中点 P 的轨迹的参数方程 ( 如图 3-5) ． 解析 割线过点 Q(a，b) ，故割线 PQ方程为： 优选文档 优选文档 此斜率 k 可作为参数． ( 投影 ) 解 设过点 Q的直线方程是 y-b=k(x-a) ，则圆心 O与 AB中点 P 的 即为所求点 P 的轨迹的参数方程． 师：你能依照点 P 的参数方程说出点 P 的轨迹吗？ 生： ( 无言以对 ) 看不出来． ( 启示学生猜想，培养参加意识． ) 师：你经过题目中点 P 吻合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状． ( 学生在纸上画，谈论． ) 生：点 P 的轨迹 (1) 过坐标原点，也就是已知圆的圆心． (2) 轨迹不是直线． 师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法， 是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法． 也就是说，参数方程里的参数能够协调 x、y 的变化．基于这点理论， 有时为了判断曲线的种类、 研究曲线的几何性质， 需要把参数方程化为一般方程．即想方法消去参数 k，把参数方程转变为我们熟知的一般方程，再去研究它的几何性质就简单了． 优选文档 优选文档 把(3) 代入 (2) 得： x2-ax+y 2-by=0 ．(4) 方程 (4) 证了然我们的猜想是正确的，详尽地说：点 P 的轨迹是一个过圆心的圆弧 ( 在圆 x2 +y2=r 2 的内部 ) ． 师：以上事例说明，有时为了判断曲线的种类，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的一般方程． 这节课我们就来学习把参数方程化为一般方程的法规． 例 1 炮弹从点 (0 ，0) 以初速度 v0 向倾斜角为 α 的方向发射，问： (1) 在时辰 t 的高度和水平距离如何？ (2) 炮弹描绘的 ( 弹道 ) 是一条什么样的曲线？ ( 学生经过物理知识，很简单解决这个问题． ) 解 (1) 设炮弹发射后的地址在点 M(x，y)( 如图 3-6) ，由于炮弹在 Ox 方向是以 v0cosα为速度的匀速直线运动，在 Oy 方向是以 v0 sin α为初速度的竖直上 抛运动，所以按匀速直线运动的公式知： 炮弹在时辰 t 的水平距离是 x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时 即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？ 生：消去参数 t ，转变为为一般方程后，即可看出曲线的形状了． 优选文档 优选文档 故炮弹描绘的曲线是一条抛物线． ( 含极点在内的一部分．由于二次项系数是负值，所以这是张口向下的抛物线，与实责问题相吻合． ) 例 2 把参数方程 即 3x+5y-11=0 是所求的一般方程，它的轨迹是一条直线． 师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法． 这正与解方程组中代入消元法邻近似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题 吗？ 优选文档 优选文档 生：挺好的．我与他解的相同，没问题． 师：同学们在解题时注意参数 t 的取值范围了吗？ 生： t 为不等于 -1 的实数，即 t ≠-1 ． 师：答案可否有何不妥？ 生：没感觉哪儿不妥，轨迹确实是一条直线． 师：一般方程是相关于参数方程而言的， 它反响了坐标变量 x 与 y 之间的直接关系，而参数方程是经过参数反响坐标变量 x 与 y 之间的间接关系． 如能消去参数 ( 不是所有的参数方程都能化为一般方程 ) ，参数方程就转变为一般方程， 所以一般方程和参数方程是同一曲线的两种不相同的表达形式． 为此，在化参数方程为一般方程时， 必定注意变数的范围不应扩大或减小， 也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小． 这就要求参数方程和消去参数后的一般方程等价． 请修正一下你的答案． 生： 3x+5y-11=0(x ≠ -3) 是所求的一般方程，它的轨迹是一条直线 ( 去掉点 (-3 ， 4)) ． 师：观察一下方程 (1) 、 (2) 的形式与你学过的知识中哪个式子近似？ ( 供应 类比，用以理解直线的参数方程形式不单一种，它与选定的参数相关． ) 至此，