高代课件潍坊学院6章.pptxVIP

§2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质许多形式不同的对象, 往往有一些共同点, 将它们统一研究, 这就有了线性空间的概念.§2 线性空间的定义与简单性质引例1在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：而且这两种运算满足一些重要的规律,如 §2 线性空间的定义与简单性质引例2数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即 §2 线性空间的定义与简单性质定义了一种代数运算，叫做加法: 即对在V 中都存在唯一的一个元素　与它们对应，称　为 的和，记为 　　　 ；在P与V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：即 的数量乘积，记为 如果加法和数量乘一.线性空间的定义 设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：§2 线性空间的定义与简单性质① ② ③ 在V中有一个元素0，对④ 对 都有V中的一个元素β，使得　 ;（β称为 的负元素） ⑥ ⑤ ⑦ ⑧ 加法满足下列四条规则： （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 :数量乘法与加法满足下列两条规则： §2 线性空间的定义与简单性质注：　1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算．2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．3 ．线性空间的判定：若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合就不能构成线性空间． §2 线性空间的定义与简单性质例3 数域 P上　　 矩阵的全体作成的集合,按矩阵用 表示．例1 引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间．例2　数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间,§2 线性空间的定义与简单性质例5　全体正实数R＋，加法与数量乘法定义为： 解：R＋构成实数域R上的线性空间． 例4　任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个数域P上的线性空间．判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .§2 线性空间的定义与简单性质R＋， ④ R＋，且 事实上, ,且 ab 唯一确定；,且 a k 唯一确定．首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.③ R＋， R＋，即1是零元；① ② 其次，加法和数量乘法满足下列算律 §2 线性空间的定义与简单性质即　a 的负元素是 　；⑤ ;R＋； ;⑥ ⑦ ⑧ ;∴R＋构成实数域 R上的线性空间． §2 线性空间的定义与简单性质2、 ，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 b 、g ，则有　◇利用负元素，我们定义减法： 二、线性空间的简单性质1、零元素是唯一的.证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有01＝01＋02＝02．§2 线性空间的定义与简单性质证明：∵ ∴两边加上 即得 0 ＝0； ∵ ；即得k 0＝0 ;∴两边加上 ∵ ∴两边加上－ 即得 ∵ ∴两边加上 即得 3、§2 线性空间的定义与简单性质证明：假若　　　则4、如果＝0，那么k＝0或 ＝0. 练习：1、P273：习题3　1）2）4）　2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量.§2 线性空间的定义与简单性质证：设而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.§2 线性空间的定义与简单性质作业P273　习题3：5）6）7）§2 线性空间的定义与简单性质