复合函数定义域问题.pdf

第 一 讲 复 合 函 数 的 定 义 域 一、复合函数的构成 设 u g (x) 是 A 到 B 的函数， y f (u) 是 B 到 C 上的函 数，且 B B ，当 u 取遍 B 中的元素时， y 取遍 C ，那么 y f ( g (x)) 就是 A 到 C 上的函数。此函数称为由外函数 y f ( x) 和内函数 u g (x ) 复合而成的复合函数。 说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数 y f (g ( x)) 中 x 的取值范 围。 ⑵ x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为 g (x ) 的 值域。 ⑶ f (g (x)) 与 g ( f (x)) 表示不同的复合函数。 例 1．设函数 f (x) 2 x 3, g (x) 3x 5 ，求 f ( g(x )), g ( f (x)) ． ⑷若 f ( x) 的定义域为 M ，则复合函数 f ( g (x)) 中， g (x ) M ． 注意： g (x ) 的值域 M M ． 例 2： ⑴若函数 f (x) 的定义域是 [0 ，1] ，求 f (1 2x) 的定义域； ⑵若 f (2x 1) 的定义域是 [-1 ，1] ，求函数 f (x ) 的定义域； ⑶已知 f (x 3) 定义域是 4 ,5 ，求 f (2 x 3) 定义域． 要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它 是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答： ⑴ 函数 f (1 2x) 是由 A 到 B 上的函数 u 1 2x 与 B 到 C上的 函数 y f (u) 复合而成的函数． 函数 f (x ) 的定义域是 [0 ，1] ， ∴B=[0,1] ，即函数 u 1 2x 的值域为 [0 ，1] ． ∴0 1 2x 1 ， 1 ∴ 1 2x 0 ，即 0 x ， 2 1 ∴函数 f (1 2x) 的定义域 [0 ， ] ． 2 ⑵ 函数 f (2x 1) 是由 A 到 B 上的函数 u 2x 1与 B 到 C上的 函数 y f (u) 复合而成的函数． f (2x 1) 的定义域是 [-1 ，1] ， ∴A=[-1,1] ，即-1 x 1， ∴ 3 2x 1 1 , 即u 2x 1 的值域是 [-3 ，1] ， ∴ y f ( x) 的定义域是 [-3 ，1] ． 要点 2 ：若已知 f (x ) 的定义域为 A ，则 f [ g (x )] 的定义域就 是不等式 g (x ) A 的 x 的集合；若已知 f [ g(x)] 的定义域为 A ，则 f (x) 的定义域就是函数 g (x) (x A) 的值域。 ⑶ 函数 f (x 3) 是由 A 到 B 上的函数 u x 3 与 B 到 C上的函 数 y f (u) 复合而成的函数． f (x 3) 的定义域是 [-4 ，5), ∴A=[-4,5) 即 4 x 5 ， ∴ 1 x 3 8 即 u x 3 的值域 B=