曲边梯形的面积教学设计.docx

§1.5.1 曲边梯形的面积教学设计 ———文雅 一. 教学目标： 知识与技能 （1）知道曲边梯形的概念，通过实例了解求曲边梯形面积的过程，初步感受“以直代曲” 与逐步逼近的数学思想方法，为今后学习定积分的概念做准备 . 2）理解求曲边梯形面积的具体步骤及作法： a）分割：区间的等宽分割与各小区间的表示； b）以直代曲：求以各小区间的长为宽，小区间左端点的函数值为长的各小矩形面积； c）近似代替的求和：所有小矩形面积的和为所求曲边梯形面积的近似值； （d）取极限：当分割得越细，这个近似值就越接近精确值。求它的极限得曲边梯形的面积 . （3）培养学生分析与综合、抽象与概括的能力，以及进行复杂运算的能力 . 过程与方法 让学生经历求曲边梯形面积的全过程， 逐步深入地理解 “以直代曲” 与逐步逼近的思想 . 3. 情态与价值 使学生经历解决问题的全过程，感受成功的乐趣，提高学生刻苦钻研数学问题的积极性 . 二. 教学重点、难点 重点：（ 1）理解定积分的“以直代曲”与“逐步逼近”的数学思想； （ 2）理解“四步曲”的 步骤 . 难点：定积分的以直代曲与逐步逼近基本思想的形成 . 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过典型案例的探究过程，逐步体会定积分的基本思想 . 2. 教学用具：多媒体或投影仪，三角板 . 四. 教学思路 （一）创设情景，揭示课题 经市人民政府授权， 工业园区管理委员会批准， 工业园区土地管理局将对位于工业园区， 地块编号为园 03 号宗地国有土地使用权实行公开拍卖出让。现就有关事项公告如下：拍卖地块情况： 地 位置 面积 用 出 让 绿地率 建筑 容积率 起拍价（元 / 块 （平方米） 途 年限 密度 平方米 ） 苏 星都街与 119373.68 住 ≥ 35%≤ 30%≤ 1.5 3100 园 苏绣路 宅 770 苏 绣 星 都 街 1. 我们抽象出一个曲边梯形的图形，如图 1.5-2 师：我们求过很多平面图形的面积，现在大家看一看，你会求这个图形的面积吗？ 【设计意图：通过观察、比较，然后引出曲边梯形的概念】 2. 师：为什么？这里的图形是由直线 x=1,y=0 ， x 轴与抛物线 y x2 所围成的特殊的平面图形， 不能直接套用公式来解决。 师：请大家再想一想，能用什么方法来解决吗？ 教师点拨：我们考虑用简单的图形来估计它的面积. 用什么图形好呢？由于矩形面积 =长×宽，最简单，故用矩形的面积 . 【师生互动，老师适时提出问题，启发学生】 师：（如图 1）用一个矩形的面积估计行吗？为什么？（误差太大了。 ） 如果利用中点分割出两个矩形， （如图 2）用它们的面积和来估计呢？误差会小一点 吗？ 如利用三等分点得到三个矩形的面积和呢？（如图 3） 图 2 【师生互动，学生动手作草图探索】 师生：如果要用很多的这样的矩形呢？能找出来？ 误差会怎样变化？用更多一些矩形，得到的面积和是否 越来越接近准确的曲边梯形面积呢？ 师生：根据这样的想法，具体的做法应该怎样？ 【师生互动，教师可大致描绘做法的思路，并指出 图 3 当矩形无限增多时，其极限值即为曲边梯形面积的精确值】 师：现在我们把思路整理一下，具体的步骤是怎样？ 【设计意图：让学生初步感受“以曲代直”与逐步逼近的数学思想】 （二）研探新知 师生：分割－近似代替－求和－求极限德精确值。 下面我们按照这个思路来解决问题 . （ 1）分割： 把区间 0,1 作 n 等分，得到 n 个小区间： 0, 1 , 1,2 ,L , i 1 , i ,L n 1 ,1 n n n n n n 其中第 i 的区间为 i 1 , i ， n n 其长度 i i 1 1 x = n n n 过上述的分点作 X 轴的垂线段， 把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形， 显然， 这些小曲边梯形 n 的面积的和  Si  S1  S2  L  Sn  S  就是所求曲边梯形面积  . i （ 2）近似代替 上述的小曲边梯形面积和不易得到， 故我们考虑用小矩形的面积去代似代替。 这些小矩形如何作出，它们的宽与高分别是什么？ 可知宽为 1 ，高为 f i 1 （取每个小区间的左端点的函数值） n n 这样，在区间 i 1, i 上，局部的 n n 上“以曲代直” （即用小矩形面积 Si 代替 相应的小曲边梯形面积 Si ），则有 f i 1 2 S S x i 1 1 i i n n n i 1,2,3, L , n 3）求和 这些小矩形的面积和能否作为曲边梯形面积的近似值。我们来求这些小矩形的面积和。 记这些小矩形面积的和为 Sn ，则 n n 2 2 2 i 1 1 1 1 1 n 1 1 Sn Si 0 L i 1