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复合函数概念精析 蓝田县泄湖中学 王锦锋 复合函数概念精析 复合函数是中学数学深化函数概念， 提高运用函数思想解决数学 问题能力的重要工具， 是进一步学习高等数学的重要基础， 也是历届 高考常考不衰的热点。 但高中数学教材未作介绍， 而其他教辅材料上 也仅给出描述性的非严格定义， 因此，高一数学教学与高考数学复习 中介绍有关内容很有必要。 一、 复合函数的概念 我们见到的复合函数的描述性定义是：如果 y 是 u 的函数，而 u 又是 x 的函数，即 y=f(u) ，u=g(x) ，那么 y 关于 x 的函数 y=f ［g(x) ］ 叫做函数 f 和 g 的复合函数， u 叫做中间变量。例如 y=sin2x 它与 y=sinx 不同，不是基本初等函数，而是由三角函数 y=sinu 和一次函 数 u=2x 经过“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合” 的定义没有明确界定， 因而很多同学对复合函数的概念似是而非， 含 混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们 正确理解复合函数的概念。 1、 由字面理解 “复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函 数的定义中， 对复合步骤的方式有特殊的约定。 它不是泛指把几个简 单函数随意地结合在一起， 例如用四则运算把它们结合起来得到的形 如 a ·f(x) ±b ·g(x) 或 a ·f(x) ·b ·g(x) 的函数，而是专指把几个 映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量 逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相 同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算， 指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。自变量像被加工的零 件依次通过第一个映射后到第二个映射， 一直到通过全部映射。 例如， 复合函数 y=sin2x 是自变量 x 先“乘 2”（第一次映射），再“取正 弦”（第二次映射），最后得到 y 关于 x 的一个函数 sin2x 。因此有 人说复合函数是函数的函数。 为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映 射所对应的函数。从外向内看，函数 y=f ［g(x) ］中称 f 定义的函数 y=f(u) 为外层函数（外函数），称 g 定义的函数 u=g(x) 为内层函数 （内函数），且称函数 y=f ［g(x) ］为函数 f 和 g 复合一次得到。这 里外层函数的映射法则 f 和内层函数的映射法则 g 构作的复合函数的 映射法则称为复合映射 f g （注意：不能把 f g 读作“f 乘 g ”，因 为复合映射不具有交换律， 即 f g≠g f ，这是复合映射很重要的一 个基本特征）。有人形容复合映射 f g 是具有传递性的两个映射 f 和 g 的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。 2、 从函数定义理解 既然函数 y=f ［g(x) ］可