复数讲义(绝对经典).pdf

复数 一、复数的概念 1． 虚数单位 i: （1）它的平方等于 1 ，即 i2 1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－ 1 的关系 : 2 2 i 就是 1的一个平方根，即方程 x 1 的一个根，方程 x 1 的另一个根是 -i ． （4）i 的周期性： 4n 1 4n 2 4n 3 4 n i i ， i 1 ， i i ， i 1 ． 实数 a(b 0) 2 ． 数系的扩充：复数 a bi 纯虚数 bi(a 0) 虚数 a bi( b 0) 非纯虚数 a bi(a 0) 3 ． 复数的定义： 形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数 集，用字母 C 表示 4 ． 复数的代数形式 : 通常用字母 z 表示，即 z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式． 5 ． 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系： 对于复数 a bi (a ，b R) ，当且仅当 b 0 时，复数 a bi (a ，b R) 是实数 a ；当 b 0 时，复数 z a bi 叫做虚数；当 a 0 且 b 0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就是实数 0 6 ． 复数集与其它数集之间的关系： N 苘Z Q 苘R C 7 ． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果 a ， a ，，b d ， c ， d R ，那么 a bi c di a c ， b d 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b 是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标 是 a ，纵坐标是 b ，复数 z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，也叫高斯平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2 ． ．对于虚轴上的点要除原点外， 因为原点对应的有序实数对为 0 ，0 ，它所确定的复数是 z 0 0i 0 表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 一一对应 复数 z a bi 复平面内的点 Z (a ，b) 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数 z 与 z 的和的定义： 1 2 2 ． 复数 z 与 z 的差的定义： 1 2 3 ． 复数的加法运算满足交换律 : z z z z