复数知识点归纳.pdf

复 数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 2 2 i 叫做虚数单位， 并规定：① i 可与实数进行四则运算； ② i 1；这样方程 x 1就有解了， 解为 x i 或 x i 2 、复数的概念 （1）定义：形如 a bi (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位， a 叫做， b 叫做。全体复数所成 的集合 C 叫做复数集。复数通常用字母 z 表示，即 z a bi (a，b ∈R) 对于复数的定义要注意以下几点： ① z a bi (a ，b ∈R)被称为复数的代数形式，其中 bi 表示 b 与虚数单位 i 相乘 ②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 （2 ）分类： 满足条件 (a ，b 为实数 ) a＋bi 为实数 ?b＝0 复数的分类 a＋bi 为虚数 ?b≠0 a ＋bi 为纯虚数 ?a ＝ 0 且 b≠0 2 例题： 当实数 m 为何值时，复数 (m 5m 6) (m 3m)i 是实数？虚数？纯虚数？ 二、复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意： 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小 例题：已知 (x y 3) (x 4)i 0 求 x, y 的值 三、共轭复数 a bi 与 c di 共轭 a c,b d (a, b, c,d R) _ _ 2 2 z a bi 的共轭复数记作 z a bi ，且 z z a b 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表 示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2 、复数的几何意义 复数 z a bi 与复平面内的点 Z (a ,b) 及平面向量 OZ (a, b) (a ,b R) 是一一对应关系（复数的实 质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 2 2 例题： （1）当实数 m 为何值时，复平面内表示复数 z (m 8m 15) (m 5m 14)i 的点 ①位于第三象限；②位于直线 y x 上 （2 ）复平面内 AB (2,6) ，已知 CD// AB ，求 CD 对应的复数 3、复数的模： 向量 OZ 的模叫做复数 z a bi 的模，记作 z 或 a bi ，表示点 ( a, b) 到原点的距离，即 z 2 2 a bi a b ， z z 若 z1 a bi ，z2 c di ，则 z1 z2 表示 (a, b) 到 (c, d ) 的距离， 即 z1 z2 (a c)2 (