【县级讲座】核心知识课时小专题有效探究.docVIP

PAGE PAGE 1 核心知识课时小专题有效探究 “弦图”的应用与拓展 适用年级：八年级上册. 内容分析： 1.重点内容介绍：“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形.三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明.此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”.“弦图”也可以简化为由四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形和中间空出一个小正方形，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，中间正方形的边长等于两条直角边的差. “弦图”的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差.根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，巧妙而简捷地解决许多实际问题. 2.学习本专题的知识储备及意义：学生具备完全平方公式及勾股定理的知识，在此基础上提炼出“弦图”的基本模型.依据“弦图”特征建立数量关系，进行解决问题，并进一步研究“弦图”的基本模型在解题中的作用，从而提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.达成目标：研究“弦图”的特点，进一步熟悉“弦图”的构成，掌握利用“弦图”中的基本模型解决一些问题的能力；同时感悟古代数学史的魅力. 例1.如图1，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x y），下列四个说法： ①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 解析：大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形 的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形 斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，∴①正确． 由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与 较短直角边的差，所以x－y＝2，∴②正确． 大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×xy＋4＝49， 核心知识课时小专题有效探究 “弦图”的应用与拓展 苏华强 适用年级：八年级上册. 内容分析： 1.重点内容介绍：“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形.三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明.此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”.“弦图”也可以简化为由四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形和中间空出一个小正方形，大正方形的边长等于直角三角形的斜边，中间正方形的边长等于两条直角边的差. “弦图”的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差.根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，巧妙而简捷地解决许多实际问题. 2.学习本专题的知识储备及意义：学生具备完全平方公式及勾股定理的知识，在此基础上提炼出“弦图”的基本模型.依据“弦图”特征建立数量关系，进行解决问题，并进一步研究“弦图”的基本模型在解题中的作用，从而提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.达成目标：研究“弦图”的特点，进一步熟悉“弦图”的构成，掌握利用“弦图”中的基本模型解决一些问题的能力；同时感悟古代数学史的魅力. 例1.如图1，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x y），下列四个说法： ①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 解析：大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形 的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形 斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，∴①正确． 由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与 较短直角边的差，所以x－y＝2，∴②正确． 大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×xy＋4＝49， 即2xy＋4＝49，∴③正确． 由①、③，得x2＋y2＋2xy＋4＝49 ×2，即（x＋y）2＝94，所以x＋y＝，∴④不正确． 综合可知，选B． 练习1.图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中