【公开课课件】任意角的三角函数.pptVIP

任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一.三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学.直到1464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各种三角形》，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；14～16世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等.1631年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用. 5.2.1 任意角的 三角函数 1.复习引入 初中我们已经学习过锐角的三角函数, 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若已知a=3，b=4，c=5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值. 当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢? 1.掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. （重点） 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值. 3.掌握三角函数的定义域. （重点、难点） 2、建立模型 以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆 称为单位圆. 探究1：如图：以单位圆的圆心o为原点，以射线OA为x轴的非负半轴建立直角坐标系，点A的坐标为（1,0），点P的坐标为（x,y）。射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方 向旋转角，终止位置为OP。 2、建立模型 问题: 探究2:一般的，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 3.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y) (1) 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数, 记作sinα,即 y=sinα (2) 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即 x=cosα 4.三角函数 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常记为： 5.典型例题 练习1： 例2 已知角α的终边上任意一点P(x,y),点P与原点的距离为r,求证： 解: 设角α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0).分别过点P,P0作x轴的垂线MP,M0P0,则 探究3 对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？ 为什么？ 提示：由相似三角形的知识可知,这三个比值不会随着点P在角α的终边上的位置的改变而改变. ﹒ ∽ M O P 由例2可知，只要知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角α的三角函数值. 练习2 已知角θ的终边过点P(-12,5),求角θ的三角函数值. 解: - + + + + + - - - - - 6.三角函数在各个象限的 符号 口诀： 一全正二正弦；三正切四余弦 可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π(或0°至360°)角的三角函数值. 7.终边相同的角的同一三角函数值相等 角α终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现 例3 确定下列三角函数值的符号: 解:(1)因为250°是第___象限角,所以cos250° 0 (2)因为 是第____象限角,所以 (3)因为tan(-672°)=tan[48°+(-2)×360°]=tan48°而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) 0 (4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0 三 四 例4 求下列三角函数值 1.任意角的三角函数的定义. 2.明确各种三角函数的定义域. 3.掌握各种三角函数在不同象限的正负情况. 小结 作业 课本第182页练习1、2、3