培优专题11_等腰三角形.pdf

11 、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 性质定理 1：等腰三角形有两边相等； 性质定理 2：等腰三角形的两个底角相等，且必定是锐角，（简写成“等边对等角”）。 性质定理 3：等腰三角形是以底边的垂直平分线 （或底边上的高所在的直线） 为对称轴的轴对称图形； 这条直线将等腰三角形分成全等的两部分，以这条直线为轴，将其中一部分翻折，能使两部分完全重合。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”），且重心、外心、内心、垂心共线。 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 °。 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今 后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的 性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 3. 竞赛类性质定理 性质 4：设 P 是等腰三角形 ABC的底边 BC所在直线上一点，则 2 2 AP =AB ±BP·PC 加减号分别对应图（ 1）和图（ 2 ） 图（ 1） 图（ 2 ） 性质 5：等腰三角形底边上任一点至两腰的距离之和等于腰上的高。 图（ 3）中， BH=DE+DF 图（ 3） 图（4 ） 性质 6 等腰三角形底边延长线上任一点至两腰的距离之差等腰腰上的高。 图（ 4 ）中 BH=DF-DE （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于 60 °的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三 角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由 于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角 的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角 的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【例题讲解】 例 1. 如图，已知在等边三角形 ABC中， D 是 AC 的中点， E 为 BC延长线上一点，且 CE＝CD， DM⊥BC，垂 足为 M。求证： M是 BE 的中点。 例 2 . 如图，已知：△ ABC 中，AB=AC ，D 是 BC上一点，且 AD=DB, DC=CA，求∠ BAC 的度数。 例 3 . 已知：如图，△ ABC 中，AB=AC, CD⊥AB 于点 D。求证：∠ BAC=2∠DCB。 例 4. 如图， 中， 分别为 与∠ 的角平分线，且相交于点 △ABC AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE ∠ABC ACB F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 例 5 已知：如图，在△ 中， ，D 是 BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 分别是垂足。求证： AE ABC AB＝AC ＝AF。