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2019年广州一模理科数学
2019年广州一模理科数学
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2019年广州一模理科数学
2019年广州一模理科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.(5分)已知集合,,则等于
A. B. C. D.
2.(5分)已知为虚部单位,若,则
A. B. C. D.
3.(5分)若,且,,则
A. B. C. D.
4.(5分)已知抛物线的焦点为,直线与交于,在轴上方)两点,若,则实数的值为
A. B.3 C.2 D.
5.(5分)下列四个命题:①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度;②某校高三一级部和二级部的人数分别是,,本次期末考试两级部数学平均分分别是,,则这两个级部的数学平均分为;③某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查,现将800名学生从001到800进行编号,已知从这16个数中取得的学生编号是503,则初始在第1小组中随机抽到的学生编号是007.其中命题正确的个数是
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(5分)正四面体中,,分别为棱,的中点,则异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
7.(5分)函数的部分图象如图所示,若,且,则
A.1 B. C. D.
8.(5分)已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是
A. B. C. D.
9.(5分)设函数的图象上的点,处的切线的斜率为,若,则函数的大致图象为
A.
B.
C.
D.
10.(5分)已知、分别是双曲线的左、右焦点,若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心,为半径的圆上,则双曲线的离心率为
A.2 B. C.3 D.
11.(5分)数列满足,对任意的都有,则
A. B.2 C. D.
12.(5分)设是定义在上的函数,其导函数为,若,,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为
A.,, B.,,
C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.(5分)已知函数,则不等式(1) .
14.(5分)已知实数,满足,则的取值范围为 .
15.(5分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,俯视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 .
16.(5分)在中,已知,若,则的取值范围 .
三、解答题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答
17.(12分)已知数列的前项和,等比数列满足,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(12分)如图,直三棱柱中,,,,分别是,的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)求三棱锥的高.
19.(12分)某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在,内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
规定:,,三级为合格等级,为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计.
按照,,,,,,,的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示
(1)求和频率分布直方图中的,的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;
(2)根据频率分布直方图,求成绩的中位数(精确到;
(3)在选取的样本中,从,两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研,求至少有一名学生是等级的概率.
20.(12分)已知椭圆的离心率为,右焦点到直线的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆相交于、两点,为椭圆的右顶点,直线,分别交直线于点,,线段的中点为,记直线的斜率为,求证:为定值.
21.(12分)设函数..
(1)求函数的单调区间和极值.
(2)若函数在区间,内恰有两个零点,求的取值范围.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点、,若点的坐标为,求的值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
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