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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时 用空间向量研究距离问题 A Q P u l 已知直线 l 的单位方向向量为 u , A 是直线l上的定点, P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 探究一 探究一 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 设 , 则向量 在直线l上的投影向量 A Q P u l 在空间中,向量a在向量b方向上的投影向量为 探究一 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? 设 , 则向量 在直线l上的投影向量 在 中,由勾股定理,得 A Q P u l 探究一 已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离? A Q P u l 注意: ⑴不必找点在直线上的垂足以及垂线段; ⑵直线l上的点可任意选取,一般选取易求得坐标的特殊点; ⑶直线l的方向向量可任意选取. 思考:如何求两条平行直线之间的距离? 两直线平行时,其中一条直线上的任意一点到另一直线的距离相等. n α 探究二 A P 如图,已知平面α的法向量为n, A是平面α内的定点, P是平面α外一点,求点P到平面α的距离. Q l n α 探究二 A P 如图,已知平面α的法向量为n, A是平面α内的定点, P是平面α外一点,求点P到平面α的距离. Q l A Q P u l n α 探究二 A P 如图,已知平面α的法向量为n, A是平面α内的定点, P是平面α外一点,求点P到平面α的距离. Q l A B C D A1 B1 C1 D1 E F 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离. 取 直线AC1 的单位方向向量为 点B到直线AC1的距离为 A B C1 u 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离. A B C D A1 B1 C1 D1 E F 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离. x z y 取 直线AC1 的单位方向向量为 点B到直线AC1的距离为 (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的 距离和夹角等问题; (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; 转化 运算 翻译 A B C D A1 B1 C1 D1 E F x z y 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离. 解: (2)以 D1为原点,D1A1 , D1C1 , D1D所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 所以FC//平面AEC1, 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. A B C D A1 B1 C1 D1 E F x z y 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离. 解: (2)以 D1为原点,D1A1 , D1C1 , D1D所在直线分别 为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 所以FC//平面AEC1, 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. A B C D A1 B1 C1 D1 E F x z y 例6 如图,在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
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