51定积分概念与性质.pptx

第五章定积分及其应用 不定积分积分学定积分微积分学微分学微积分学 (Calculus)拉丁语意为用来计数的小石头 第一节定积分的概念与性质 一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的近似计算四、 定积分的性质一、定积分问题举例矩形面积梯形面积1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线及 x 轴 ,以及两直线求其面积 A .所围成 ,解决步骤 :1) 大化小.在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,并以此小为高的小矩形,矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 近似和.4) 取极限.令则曲边梯形面积2. 变速直线运动的路程已知速度设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 大化小.将它分成在每个小段上物体经n 个小段过的路程为2) 常代变.得3) 近似和.4) 取极限 .上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 在区间则称此极限 I 为函数上的定积分,记作即此时称 f (x)在[a, b]上可积 .积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间而与积分定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,即变量用什么字母表示无关 ,定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和取三、可积的充分条件定理1.定理2.且只有有限个间断点 例1. 利用定义计算定积分解:将 [0,1] n 等分, 分点为则注. 当n 较大时, 此值可作为 的近似值 例2. 利用定义计算定积分解:将 [a,b] n 等分, 分点为取则[注] 利用得两端分别相加, 得即四、定积分的性质规定:性质1.( k 为常数)性质2.性质3.证:= 右端.性质4.时,当证:在上可积 ,因于是所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有性质5. 若在 [a , b] 上则证:极限的局部保号性则推论1. 若在 [a , b] 上作函数提示:则则推论1. 若在 [a , b] 上推论2.证:即性质6.证（此性质可用于估计积分值的大致范围）解:性质7. 积分中值定理使则至少存在一点证:则由性质6 可得不等式左右同时除以(b-a),得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明: 积分中值定理对 可把计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均例3. 速度. 解: 已知自由落体速度为故所求平均速度运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7.