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2021年天津高考数学试卷-(含答案) 2021年天津高考数学试卷 第Ⅰ卷 参考公式： ·如果事件与事件互斥，那么． ·如果事件与事件相互独立，那么． ·球的表面积公式，其中表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则 A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为 A B C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为 A．10 B．18 C．20 D．36 5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 6．设，则的大小关系为 A． B． C． D． 7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 8．已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．是虚数单位，复数_________． 11．在的展开式中，的系数是_________． 12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知，且，则的最小值为_________． 15．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 在中，角所对的边分别为．已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分） 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 19．（本小题满分15分） 已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 20．（本小题满分16分） 已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 2020年天津高考数学试卷答案 1．C 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．B 9．D 10． 11．10 12．5 13．； 14．4 15．； 16.（Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，有．又因为，所以． （Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，可得． （Ⅲ）解：由及，可得， 进而． 所以，． 17.依题意，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得，，． （Ⅰ）证明：依题意，，，从而，所以． （Ⅱ）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得． 因此有，于是． 所以，二面角的正弦值为． （Ⅲ）解：依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18．（Ⅰ）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．又由，可得．所以，椭圆的方程为． （Ⅱ）解：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，