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结论 学习文档 例3 解 学习文档 学习文档 X , Y 不相关 X ,Y 相互独立 X , Y 不相关 若 ( X , Y ) 服从二维正态分布， X , Y 相互独立 X , Y 不相关 不相关与相互独立 学习文档 解 例4 学习文档 学习文档 学习文档 这一讲我们主要介绍了协方差和相关系数，相关系数是刻划两个随机变量间线性相关程度的重要的数字特征,它取值在-1到1之间. 如果两个变量之间存在强相关，则已知一个变量的值对预测另一个变量的值将很有帮助,如前面几个引例。 小 结 学习文档 1.定义 * 学习文档 2. 协方差矩阵 学习文档 学习文档 例 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度. 故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且 X 与Y 独立, D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 Z~N(E(Z), D(Z)) 学习文档 故 Z 的概率密度是 Z~N(5, 32) 学习文档 契比雪夫不等式 证明 取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式 学习文档 得 学习文档 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。 从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的? 0, 当方差越小时，事件{|X-E(X)|≥?}发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量． 当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于? 的概率的估计值． 切比雪夫不等式的用途： （1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。 学习文档 例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P{ |X-E(X)| 2100} 学习文档 由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100} 即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 . 学习文档 例2 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。 解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p的二项分布，这时 由切贝雪夫不等式可得: 学习文档 学习文档 一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数 主讲人： * 学习文档 前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的 协方差和相关系数 1. 问题的提出 一、协方差与相关系数的概念及性质 学习文档 在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。 学习文档 这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点图。 儿子的身高 父亲的身高 问：父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？ father son 学习文档 类似的问题有： 1、吸烟和患肺癌有什么关系？ 2、受教育程度和失业有什么关系？ 3、高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？ …… ??? 学习文档 协方差 * 学习文档 定义 对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在， 则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY) 为X和Y的协方差。 特别, 若X=Y,则 cov(X,X)=E(X