课件05第五章第三节.pptx

§3 向量组的秩一、向量组的秩与极大无关组二、向量组极大无关组的性质三、向量空间的基、维数与向量的坐标四、过渡矩阵与坐标变换§3 向量组的秩一、向量组的秩与极大无关组个向量的部分组的一个包含．定义7 设向量组，满足线性无关；（1）向量组（2）向量组中任意个向量 中有个向量的话）组成的向量组都线性相关，（如果那么向量组称为向量组的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）；极大无关组所含向量个数称为向量组的秩．，规定它的秩只含零向量的向量组没有极大无关组都是及 ；为0．在§２例8中，部分组这说明向量组的极大向量组的极大无关组． 但是无关组一般不是唯一的；这3个极大无关组含有的这就是向量组线性无关的向量的个数都是2，任意个线性无关的的秩． 又如的秩为，无关组．维向量都是的一个极大个维向量一定事实上，因为任意线性相关，所以任意个线 性无关的维向量都是的一个极 大无关组． 特别地， 维单位坐标 向量组 矩阵是的一个极大无关组．的列向量组的秩称为的行秩．的列秩，它的行向量组的秩称为利用§2定理2及矩阵的秩的定义，我们可以建立矩阵的秩、列秩及行秩之间的如下联系．定理7 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩．证 设，并设某一 ，知所在的阶子式列构成的矩阵的秩为，由定理2知这个列向量线性无关；又由中所有阶子式均为零，也由个列向量都线性相关．定理2知中任意因此所在的列是的列向量组的 一个极大无关组，所以的列秩等于 ．由于且的列向量组就是的行向量组，即的列秩就是的行秩．所以，由可以知道矩阵的秩也等于它的行秩．　　证毕以后，向量组的秩也记作　从证明中可以知 道：如果是矩 阵的一个最高阶非零子式，那么所在的列就是阵的列向量组的一个极大无关组；所在的行就是的行向量组的一个极大无关组．这为我们提供了一种通过矩阵的最高阶非零子式来求其列向量组的极大无关组的方法．下面我们介绍求向量组的极大无关组的另一种方法，即用矩阵 初等变换来求向量组极大无关组的方法．为此，我们需要如下的简 单的定理． 定理8 矩阵的初等行变换 不改变（部分或全部） 列向量之间的线性关系；矩阵的初等列变换不改变（部分或全部）行向量之间的线性关系．证 设为一个矩阵，它经过有限次初等行变换．任取的列构成矩阵，此时变成矩阵的各 变 成矩阵．显然的列向量就是中与的各列向量位置对应的列向量．由§2知道与列向量之 间的线性关系分别由齐次线性方 程组决定，其中．但是，由第二与的列向章知道，这两个齐次线性方程组同解．所以量与的列向量之间有相同的线性关系． 由于的列向就是的行向量，所以定理的两部分结论是等价的．使用定理的前半部分，就对矩阵的转置矩阵可以得到另一部分的结论．证毕求 定理8及其证明过程为我们提供了利用矩阵初等变换向量组的秩与极大无关组的具体做法，下面我们举例说明．例10 设向量组A: （1）求向量组的一个极大无关组，并由此得到向量组的秩； 中不属于所求得的极大无关组（2）把向量组的向量用该极大无关组线性表示．解 （1）对矩阵施行初等，就可以看出矩阵行变换使它变成行阶梯形矩阵的列向量之间的线性关系．根据定理8，这就是矩阵列向量之间的线性关系．由矩阵 B有3个非零行且非零行的第一个非零元素分别线性无关，且有在1、2、4列，我们知道向量组．由定理7，向量组中任意4个向量线性相关．所以，向量组是向量组的一个极大无关组，从而（2）为了要把线性表示，继续用．对矩阵施行初等行变换，使它变成行最简形矩阵 ．由矩阵的列向量之间的线性关系，利用定理8可以得到矩阵的列向量之间的如下线性关系： ，．例11 设数求(1,2),(1,a),(1,b)的一个最大无关组。解 这三个二维向量一定线性相关。又所以从而线性无关。因而该向量组的秩为2，为一个最大无关组。二、向量组极大无关组的性质向量组 由向量组的极大无关组的定义容易证明：与它的极大无关组是等价的．这是因为的一个部分组，总能由向量组作为向量组向量组中的线性表示；而由定义7条件（2）可以知道，对于任意向量个向量组成的向量组而向量组线性相关，线性无关，根据定理5知能由向量组线性表示，即向量组能由向量组线性表示．所以向量组与它的极大无关组等价． 根据向量组等价关系的性质，一个向量组的任意两个极大无关组都是等价的． 为了讨论两个向量组的秩之间的关系，我们先证明如下重要定理．． 定理9 设向量组能由向量组线性表示如果线性相关；或者，那么向量组线性无关，那么等价地，如果向量组．．证 只需要证明定理的前半部分的结论．记线性表示，能由向量组因向量组矩阵，使得所以根据§2第一目的讨论，存在 及．考虑齐次线性方程组 （5.11）其中 （5.12）．由于故方程组（5.11）的解都是方程组（5.12）的解．但是即在齐次线性方程组（5.11）中方程的个数小于所含未知量的个数