第六节内积长度和正交性.pptx

第六节 内积，长度和正交性定义6.1n维向量的内积定义为设求例1解:用 证明即可向量内积的性质(a)(b)(c)当仅当(d)注：长度定义6.2n维向量单位向量长度为1的向量称为将 标准化.(与 同向的单位向量)性质：(a)(b)(c)标准化(单位化)例2解:称(相互)正交.如果定义6.3(单位)一组两两正交的 向量称为(标准)正交向量组例3证明：是正交向量组.证：两两垂直不共面，线性无关.是正交向量组，定理6.1非零向量则线性无关.证:两两正交,使设常数同理：线性无关.总结：线性无关两两正交(不共面)(两两垂直)的自然基定义6.4是向量空间V的一个基，若则称是 正交向量组，(标准)是V的一个(标准)正交基.例4是标准正交基.求 在自然基下的坐标.是 中的一个基，求 在这个基下的坐标.例5解:坐标:求坐标:法一:解线性方程组例5是 中的一个基，求 在这个基下的坐标.求坐标:法二:同理:坐标:在 方向上的投影在 方向上的投影在 方向上的投影注：向量在正交基下的坐标计算方便.对V中任意向量 ，是向量空间V的一个正交基，定理6.2可由这组正交基线性表示：则坐标在是方向上的投影.注：若是V的标准正交基，则:在自然基下的坐标就是将 中的一个基由一个基出发构造标准正交基的方法Schimidt正交化例5构造标准正交基.取第一步：解:与 垂直的向量在 方向上的投影第二步：将分解：与 和 垂直的向量在 方向上的投影在 方向上的投影第三步：将分解：一般基正交基第四步：标准化是标准正交基例6矩阵A是以例5中的标准正交基为列向量，求解:定义6.5若n阶矩阵A满足称A是正交矩阵.定理6.3是正交矩阵当且仅当是的标准正交基.证：是的标准正交基，则同理，例7填入适当的数使A成为正交矩阵.填入使B,C成为正交矩阵 .解:则：正交矩阵性质:若A,B都是正交矩阵,也正交矩阵.证：