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二重积分中值定理的推广 二重积分中值定理的推广 摘要 一重积分有许多重要的性质和定理，这篇文章对二重积分中值定理作了推广，使结论更加广泛，并给出了商与积的中值定理. 关键词 二重积分；中值定理；可积；连续；最小值；最大值 An Extention about the Mean Value Theorem of Double Integral Abstract There are many important theorems and properties in the integral,this paper extends the double integrals mean value theorem and gives a corresponding theorem for product and quotient of integrations. Keywords double integral; mean-value theorem;integrable;continuous;maximum;minmum 积分中值定理在微积分学中有非常广泛的应用，已有对此定理的推广形式作了研究.自 然联想到二重积分中值定理是否也可作进一步推广?另外,我们知道还有积分第二中值定理: 若在区间?a,b?上f为非负的单调递减函数,而g是可积函数,则存在???a,b?,使得 fg?f?a??g 是否也可推广到二重积分上?本文对以上两个问题作了进一步探讨,并给出了简单的应用. 二、二重积分中值定理的推广 二重积分中值定理?1? 若f?x,y?在可求面积的有界闭区域D上连续，g?x,y?在D上可积且不变号，则存在一点??,???D，使得 f?x,y?g?x,y?dydx?f??,????g?x,y?dydx 推论 若f?x,y?，g?x,y?在可求面积的有界闭区域D上连续，，则存在一点??,???D，使得 ?D——表示D的面积. f?x,y?g?x,y?dydx?f??,??g??,???D 证明 令F?x,y??f?x,y?g?x,y?， G?x,y??1.则F，G满足二重积分中值定理的条件，故存在一点??,???D，使得 f?x,y?g?x,y?dydx? F?x,y?G?x,y?dydx ?F??,????GyD ?x,?dydx?f??,??g??,???D 引理1?2? 若（1）f?x?，g?x?在?a,b?上连续； （2）g?x??0，?x??a,b?. 则存在一点???a,b?,使得 ?f???g??? 证 见《上海海运学院学报》，Vol 16 No.1 Mar.1995. 另证?3? 利用Cauchy中值定理. 令 f?u?du，G?x?? 则存在???a,b? 使得 ?b??F?a?F????????b FG?b??G?a? 定理1 假设 （1）f?x,y?，g?x,y?在平面区域D上连续， ?x,y???x??y???x?,a?x?b? （2）g?x,y??0,??x,y??D. 则存在一点??,???D, 使得 f?x,y?? f??,???? g?x,y?dydx 证明 因为g?x,y?在D上连续且恒不为0，则 g?x,y?dydx f?x,y?dy，G?x?? g?x,y?dy f??,y?dy ，G???? ?????g??,y?dy 由引理1，存在???a,b?，使得 f?x,y?dydxg?x,y?dydx ?????f??,y?dy?????g??,y?dy 再次运用引理1，存在???????,????? 使得 ?????f??,y?dy?????g??,y?dy f??,??g??,?? f?x,y?dydxg?x,y?dydx f??,??g??,?? 推论 在上述条件下，假设区域为形D??a,b???c,d? ，其中 a,b,c,d为常数且在同一象限.则存在点??,???D 使得 其中 ?D表示D的面积. f?x,y?? ?D?a?b??c?d?f??,?? 证明 令 g?x,y??xy 则 g?x,y?? ?D?a?b??c?d? 代入定理1中结论化简即可. 若（1）f?x,y?在闭区域D上连续且非负，?x??a,b?，