人教版八年级数学上册课件《12.3 第1课时 角平分线的性质》.pptVIP

12.3 角的平分线的性质 第十二章 全等三角形 第1课时 角平分线的性质 导入新课 复习引入 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 . 线段PC的长 P l A B C D 3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 . A A P P l1 l2 l1 l2 图1 图2 图1 讲授新课 角平分线的尺规作图 一 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 动手画一画 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 角平分线的性质 二 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. P A O B C D E PD=PE 作图探究 验证结论 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 典例精析 例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 当堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C