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解题方法及提分突破训练：构造法专题 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程 (组 )、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 一 真题链接 1.（ 2012 青海）若 m,n 为实数，且 2m n 1 m 2n 8 0, 则（ m n) 2012 的值为 2.（ 2012 莆田） 3.（ 2012?铁岭）如果 x 1 y 2 0 ，那么 xy= 4.（ 2012? 佛山）如图，已知 AB=DC ，DB=AC 1 ）求证：∠ ABD= ∠ DCA ．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． 2 ）在（ 1 ）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ （ 2012?佳木斯）国务院总理温家宝2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会议 决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区． 现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、 乙两 地，用大、小两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分 别为 16 吨 / 辆和 10 吨 / 辆，运往甲、乙两地的运费如表： （ 1）求这两种货车各用多少辆？ （ 2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往 甲、乙两地的总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围） ； （ 3）在（ 2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车 调配方案，并求出最少总运费． 二．名词释义 所谓构造法 就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化， 使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来， 从而恰当地构造数学模型， 进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。 例 1：如果关于 x 的方程 ax+b=2（ 2x+7）+1 有无数多个解，那么 a、 b 的值分别是多少？ 解：原方程整理得（ a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴ a-4=0 且 15-b=0 分别解得 a=4， b=15 二．构建几何图形 对于条件和结论之间联系较隐蔽问题， 要善于发掘题设条件中的几何意义， 可以通过构 造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例 2：已知  ，则  x  的取值范围是（  ） A 1≤  ≤ 5  B  ≤ 1  C 1＜  ＜  5  D  ≥ 5 分析：根据绝对值的几何意义可知：  表示数轴上到  1 与  5 的距离之 和等于 4 的所有点所表示的数。如图  3，只要表示数 的点落在  1 和  5 之间（包括  1 和  5）， 那么它到 1 与 5 的距离之和都等于 4，所以 1≤ ≤ 5，故选 A. 4 0 1 5 三、构造函数模型，解数学实际问题 在解答数学实际问题时， 引进数学符号， 根据已知和未知之间的关系， 将文字语言转化 为数学符号语言， 建立适当的函数关系式 （考虑自变量的取值范围） 。再利用有关数学知识， 解决函数问题。这样既可深入函数内容的学习，也有利于增强学生的思维能力和解题实践 能力。 例 3：（八年下课本习题变式）某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计 划利用这两种原料生产 A、B 两种产品，共 50 件。已知生产一件 A种产品，需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种 原料 10 千克，可获利润 1200 元。 （ 1）按要求安排 A、 B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来； （ 2）设生产 A、B 两种产品获总利润为 y （元），生产 A 种产品 x 件，试写出 y 与 x 之 间的函数关系式，并利用函数的性质说明（ 1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是 多少？ 解；（1）设需生产 A 种产品 x 件，那么需生产 B 种产品 (50 x) 件，由题意得： 9x 4(50