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高考命题新思维之四 “云朵”考题别有创意 基础稳固轻松求解 高中全程复习方略 【题目】(2019·全国卷Ⅲ第22题)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B , C ,D(2,π),弧 所在圆的圆心分别是(1,0), ,(1,π),曲 线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线M3是弧 . (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程. (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求点P的极坐标. 试题点评 本题命制新颖,别出心裁,以一个“云”形状的图形,要求考生求极坐标方程.这种极坐标形式的问题在高考中不多见.命题人的“煞费苦心”让考生感觉这朵云“好凄美”.这些题目看似变难了,其实是出题方式变得灵活了,更加符合新高考的要求,突出考查数学建模、直观想象、数学运算的核心素养. 命题探源 在2016年上海高考数学试卷中,也出现过类似给出图形求曲线的极坐标方程的题目,其来源为数学家笛卡尔的心形线.人教版教材中,也出现过自己选择适当的极坐标系求圆的极坐标方程、直线的极坐标方程等. 高考声音 这道题传递了一个高考信息,回归课本,基础要绝对扎实.虽然题目比较新颖,但是只要紧扣教材,就能很好地解答.这些试题不仅对所学的知识进行考查,而且还与实际生活联系得更加紧密了.高考试题不但考查考生的做题的速度和准确度,还拓宽了知识的广度和宽度,更加考验学生对知识灵活运用的能力. 解法探究 (1)将三个过原点的圆方程列出,注意题中要求的是弧,所以要注意方程中θ的取 值范围. (2)根据条件ρ= 逐个方程代入求解,最后解出P点的极坐标. 【解析】(1)如图所示,极坐标A(2,0),B ,C ,D(2,π)转化为直角 坐标为A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0). 则M1,M2,M3的圆心坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0). M1,M2,M3所在圆的方程为(x-1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x+1)2+y2=1, 设x=ρ cos θ,y=ρ sin θ, 则M1,M2,M3所在圆的极坐标方程分别为 M1:ρ=2cos θ , M2:ρ=2cos =2sin θ , M3:ρ=2cos(θ-π)=-2cos θ . (2)设P(ρ,θ), 由题设及(1)知若2cos θ= , 解得θ= , 若2sin θ= , 解得θ= 或θ= . 若-2cos θ= , 解得θ= . 故P的极坐标为 拓展赏析 1.其实这道题并不难:考生之所以认为这道题难,其主要原因是长期的应试训练,造成了学生思维的僵化的结果.由于没有心理准备,当面对新的变化时容易引起情绪上的波动,从而觉得试题变难了.其实只要静下心来好好读读题目,也不难发现那是几个曲线的组合.教材上的标准模型不见了,取而代之的是几个标准模型的组合. 2.把高考拉进了现实:现实社会中哪有标准的模型,几乎每件事都是复杂的不能再复杂的事情的组合.要想解决现实的问题,只有努力地透过现象看本质,找出其中所包含的模型,才有可能解决现实中的问题.“死记硬背”“机械刷题”“题海战术”,已不适合新高考.高考试卷中出现了一朵云,这朵云把高考拉进了现实.值得师生在备考中细加品味.