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概率论与数理统计讲义稿 概率论与数理统计讲义稿 PAGE PAGEPAGE 149 PAGE 149 概率论与数理统计讲义稿 第一章 随机事件与概率 § 随机事件 随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的； （2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。 为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。 例 ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：={正面,反面}。 ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。 : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到 ={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) } 读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？ ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为 ， 其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。 ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 □ 随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母记之。 事件与集合的对应以及它们的运算 通常用希腊字母表示样本空间, 表示样本点。称“是的成员”或者“属于”，或者“是的元素”，记为. 如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为. 一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合等都是的子集，而不再每次申明。 事件的包含—集合的包含 集合即“包含于”，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示的样本点都在中，即当的样本点出现于试验结果之中，即发生时，当然也就发生了，或说“的发生必导致的发生”。 图 的文氏图 事件的相等—集合的相等 称集合A和B相等，并记为，是说“且”。对应于事件，称A和B相等，记为，就是“如果发生，则必然发生，同样如果发生，则必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。 事件的并（和）—并集 集合A和B的并集记为,它的元素或者属于，或者属于（当然有的可能同时属于A和B），即。对应事件的并表示“或至少有一个发生”。 图 的文氏图 并的概念可以推广到个事件和可数个事件,的并表示“中至少有一个发生”；可数个事件的并表示“中至少有一个发生”。 事件的交（积）—交集 两个集合A和B的交集记为，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即 对应于事件的交表示“A和B同时发生”。常简记作。 图 的文氏图 类似地，交得概念也可以推广到个事件的交,表示“个事件同时发生”，可