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5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
素养目标 学科素养
1.理解导数与函数单调性的关系. (重点 ) 1.数学抽象;
2 .掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法. (重点 ) 2.逻辑推理;
3 .掌握利用导数求函数单调区间的方法. (难点 ) 3.直观想象;
4 .理解函数图象与其导函数图象之间的关系. (重点、难点 ) 4 .数学运算
情境导学
研究股票时,我们最关心的是股票曲线的发展趋势 (走高或走低 ) ,以及股票价格的变化范围
(封顶或保底 ) .从股票走势曲线图来看,股票有升有降.我们知道,股票走势曲线的变化趋
势可以看作函数曲线的单调性,能否用导数研究函数的单调性呢?
1.函数的单调性与其导数的关系
(1)在某个区间 (a, b)上,如果 f ′(x)0 ,那么函数 y =f(x)在区间 (a ,b)上单调递增;
在某个区间 (a ,b)上,如果 f ′(x)0 ,那么函数 y =f(x)在区间 (a ,b)上单调递减.
(2)判断函数 y=f (x) 的单调性的步骤:
第 1 步,确定函数的定义域;
第 2 步,求出导数 f ′(x) 的零点;
第 3 步,用 f ′(x)的零点将 f(x) 的定义域划分为若干个区间,列表给出 f ′(x)在各区间上的正负,由
此得出函数 y =f(x) 在定义域内的单调性.
2 .导数的绝对值与函数值变化的关系
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时
函数的图象就比较“陡峭” ( 向上或向下 ) ;反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比
较“平缓”.
判断 (正确的打“√”,错误的打“×” ) .
1 / 17
对于函数 y =f(x) ,
(1)在区间 I 上,若 f ′(x)0 ,则 f (x)在 I 上单调递减. ( √)
(2)在区间 I 上,若 f (x)是单调递增的,则 f ′(x)0.( )
× 提示: f ′(x) =0 也有可能,如 y=x3 .
(3) 函数 f (x)在 (a ,b) 内变化得越快,其导数就越大. ( )
× 提示: f(x)在 (a ,b) 内变化得越快,说明其导数的绝对值越大.
2 / 17
1.函数 y=f (x)的图象如图所示,则在区间 (1,3) 内,
有 ( )
A .f ′(x)0 B .f ′(x)0
C .f ′(x)=0 D .f ′(x) 的符号不确定
B 解析: 在区间 (1,3) 内,函数 y =f(x) 的图象是下降的,函数单调递减,所以 f ′(x)0.
2 .已知函数 f(x) =xln x 的定义域是 (0,1) ,则下列说法正确的是 ( )
A .函数 f(x) 是增函数
1 1
B .函数 f(x)在 0 , 内是减
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