高中数学-推理与证明.pdf

推 理 与 证 明 一、合情推理 1.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有 这种性质的推理叫做归纳推理 ,归纳是从特殊到一般的过程 ,它属于合情推理 （1 ） 特点：由部分到整体、由个别到一般 （2 ） 归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 （3 ） 归纳推理的特点： 1 ○归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象 2 ○由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实 验检验，因此，它不能作为数学证明的工具 3 ○归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究 的起点，帮助人们发现问题和提出问题 2. 类 比推理：根据两类事物之间具有某些类似 (一致 )性，推测一类事物具有另一类事物 类似 (或相同 ) 的性质的推理 （1 ） 特点：由特殊到特殊 （2 ） 类比推理的一般步骤 : 1 ○找出两类事物的相似性或一致性 2 ○用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 ,得出一个明确的命题 (猜想 ) 3 ○ 一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的 ,而是相互制约的 .如果两个事物在 某些性质上相同或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似 ,类比的结论可能是 真的 4 ○ 一般情况下 ,如果类比的相似性越多 ,相似的性质与推测的性质之间越相关 ,那么类 比得出的命题越可靠 （3 ） 共性：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联 想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 二、演绎推理 1.定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常 1 叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 2. “三段论 ”是演绎推理的一般模式，包括： （1 ） 大前提 —— 已知的一般原理 （2 ） 小前提 —— 所研究的特殊情况 （3 ） 结论 —— 根据一般原理，对特殊情况作出的判断 三、直接证明 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结 论的真实性。直接证明包括综合法和分析法 1.综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原 因推导到结果的思维方法 （1） 特点：从 “已知 ”看 可知“ ”，逐步推向 “未知 ”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 必要条件 步骤的符号表示： P0 1 2 3 4 （2 ） ( 已知)? P ? P ? P ? P (结论) 2. 分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知 条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法 （1） 特点：从 未知“ ”看 “需知 ”，逐步靠拢 “已知 ”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 充分条件 步骤的符号表示： B(结论 )? B1 2 n （2 ） ? B …? B ? A(已知) 四、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的 间接证明方法 1.反证法的定义：一般地，由证明 p? q 转向证明：非 q? r? …? t ，t 与假设矛盾，或与 某个真命题矛盾，从而判定非 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 2.用反证法证明的一般步骤： （1 ） 反设 —— 假设命题的结论不成立 （2 ） 归谬 —— 根据假设进行推