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第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节 平面向量的数量积及其应用
考点 3 向量数量积的综合应用
π
（2018 ·浙江卷）已知 a ，b， e是平面向量， e是单位向量．若非零向量 a与e的夹角为 ，向量 b满足 b2
3
－4e ·b ＋3＝0 ，则 |a－b|的最小值是（ ）
A ． 3 －1 B ． 3 ＋ 1
√ √
C ．2 D ．2－ 3
√
2
【解析】∵ b －4e ·b＋3＝0 ，
2
∴（ b－2e） ＝1，
∴|b－2e|＝1.
如图所示，把 a，b ，e的起点作为公共点 O ，以 O为原点，向量 e所在直线为 x轴，则 b 的终点在以点
（2,0 ）为圆心，半径为 1的圆上， |a－b|就是线段 AB 的长度．
要求 |AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心 M到直线 OA 的距离减去
圆的半径长，因此 |a－ b|的最小值为 3 － 1.
√
故选 A ．
【答案】A
（2018 ·天津卷（文））在如图所示的平面图形中，已知 OM ＝1，ON ＝2，∠
????????????????? ?????? ????? ??????
＝2????，????＝2????，则 ???? 的值为（ ）
MON ＝120 °，???? ·????
A ．－ 15 B ．－9
C ．－6 D ．0
【解析】如图，连接 MN .
1 / 3
????????????
∵????＝2????，
????? ??????
＝2????，
????
???? 1 ????
∴ ＝ ＝ ，
???? 3 ????
???? 1
∴MN ∥BC ，且 ＝ ，
???? 3
????? ??????? ?????? ??????
∴????＝3????＝3 （????－????），
????? ?????? ?????? ???????????? 2
∴???? ＝3 （???? －???? ）＝－ 6.
????· ????· 2 ）＝ 3 （2 ×1 ×cos 120 －°1
故选 C．
【答案】C
（2018 ·全国卷Ⅲ（文））已知向量 a ＝（ 1,2）， b＝（ 2 ，－2 ）， c＝（ 1， λ）．若 c∥
（2a ＋b），则 λ＝________.
【解析】由题意得 2a ＋b＝（ 4,2 ），
1
因为 c∥（2a ＋b），所以 4 λ＝2 ，得 λ＝ .
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