2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲.pdf

2014-2017 高考真题-选修 4-5 不等式选讲 选修4-5 不等式选讲 考点 不等式选讲 1. （2017•新课标Ⅰ,23）已知函数 f （x）= ﹣ 2 x+ax+4，g （x）=|x+1|+|x ﹣1|．（10分） (1)当a=1时，求不等式f （x）≥g（x）的解集； (2)若不等式f （x）≥g（x）的解集包含[﹣1， 1]，求a 的取值范围． 1. （1）解：当a=1时，f （x）=﹣x+x+4，是开2 口向下，对称轴为x= 的二次函数， g （x）=|x+1|+|x ﹣1|= ， 2 当 x∈（1，+∞）时，令﹣x+x+4=2x，解得 x= ，g （x）在（1，+∞）上单调递增，f （x） 在 （1，+∞）上单调递减，∴此时f （x）≥g（x） 的解集为（1， ]； 当x∈[﹣1，1]时，g （x）=2，f （x）≥f（﹣1） =2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g （x）单调递减，f （x） 单调递增，且g （﹣1）=f （﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集 [﹣1， ]； 2 （2）依题意得：﹣x+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成 2 立，即 x ﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只 需 ，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是[﹣1，1]． 2.（2017•新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a+b=2，3 3 证明： 5 5 （Ⅰ）（a+b）（a+b ）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a+b ）5 5 2 3 3 2 ≥（ + ）= （a+b ）≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， 3 3 （Ⅱ）∵a+b=2， 2 2 ∴（a+b）（a ﹣ab+b ）=2， 2 ∴（a+b）[ （a+b） ﹣3ab]=2， 3 ∴（a+b） ﹣3ab （a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ） ，2 3 ∴（a+b） ﹣2 ， 3 ∴ （a+b）≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 3. （2017•新课标Ⅲ,23）已知函数f （x）=|x+1| ﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f （x）≥1的解集； 2 （Ⅱ）若不等式f （x）≥x ﹣x+m 的解集非空， 求m 的取值范围． 3. （Ⅰ）∵f （x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ， f （x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f （x）≥1的解集为{x|x≥1}． （Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x+x≥m2 成立， 2 即m≤[f（x）﹣x+x] ， 设g （x）=f （x） max