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概率论在数模竞赛中的应用-4 概率论在数模竞赛中的应用-4 PAGE PAGEPAGE 25 概率论在数模竞赛中的应用-4 五、（2006年华东地区数学建模邀请赛第一题）乒乓赛问题 A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下： （1）根据矩阵能否看出哪一队的实力较强？ （2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3）如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？ 首先要弄清楚：矩阵中的元素到底表示什么意思？是不是表示：如果A队以次序出场而B队以次序出场，A队在5局中可以百分之百保证一定会胜局显然不是这个意思，比较合理的看法，应该认为它只是对A队平均获胜局数的一个估计。 当A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。 设是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，服从二项分布，概率分布为 ， 。 容易求得它的数学期望为 。 如果我们认为矩阵中元素给出的数据，不是完全确定的结果，而是估计A队在5局比赛中平均获胜的局数，则有 。 这样，就可以得到的估计值 。 对应于矩阵，我们可以得到这样一个矩阵 。 要比较A，B两队实力的大小，可以比较两队在每一局比赛中获胜的平均概率大小。矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是，那么，根据全概率公式，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的平均概率 ， 这个概率超过了，也就是说，从每一局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。 以上是从每一局比赛获胜概率的大小来比较实力，但是，比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。 下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率： A队最后获胜，可以分成下列几种情况： （1）A队连胜三局。这种情况的概率为 ； （2）在前三局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ； （3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ； 把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。 根据以上公式，从矩阵 出发，可以计算出这样一个矩阵 。 矩阵中元素表示：当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率）。 如果两队都随机排阵，9种出场次序出现的可能性相等，都是，根据全概率公式，就可以算出A队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率 。 这个数字大于，同样也说明A队的实力比较强。 下面来看，如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ 什么是“稳妥的方案”我们的理解是：所谓“稳妥的方案”，就是对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。 从矩阵 （其中的元素，是A队获胜的概率，也是B队失败的概率）可以看出： 对于B队来说，采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序，B队失败概率为；采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序或，B队失败概率为；采用出场次序时，最坏情况是A队采用出场次序或，B队失败概率为。3个失败概率中，为最小，所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序。 对于A队来说，采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为。3个获胜概率中，为最大，所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序或。 那么，A队到底采用还是呢？如果A队预料到B队一定会采用最稳妥的出场次序，那么，这时A队采用，获胜的概率只有，A队采用，获胜的概率就会有，当然，A队应该采用。 但是，如果B队又预料到A队会采用，那么，B队就不会采用失败概率为的，而是应该采用失败概率更小（失败概率为）的。 如果A队又预料到B队会采用，A队又会改变出场次序。……。这样的推理，可以无穷无尽地进行下去。 其实，这是一个博弈论（Game Theory）中的两人零和博弈（Zero-Sum Two-Person Game）问题。A队可以采用的3种出场次序，是A队可以采用的3种策略；B队可以采用的3种出场次序，是B队可以采用的3种策略。矩阵是A队的