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高中数学竞赛第三章函数练习题 高中数学竞赛第三章函数练习题 第三章函数 一、基础知识 例 2 求函数 f(x)= 的最大值。 五、联赛一试水平训练题 1．奇函数 f(x) 存在函数 f-1(x) ，若把 =f(x) 的图象向上平移 3 个单位，然后向右平移 2 个单位后，再关于直线 =-x 对称，得到的 曲线所对应的 . 函数是 ________. 2．若 a0，a1,F(x) 是奇函数，则 G(x)=F(x) 是________ （奇偶 性） . 3 ．若=x，则下列等式中正确的有 ________. ①F( -2-x)=-2-F(x) ； ②F( -x)= ；③F(x -1)=F(x) ；④F(F(x))= -x. 4. 设函数 f ：R→R 满足 f(0)=1 ，且对任意 x, ∈R，都有 f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2 ，则 f(x)=________. 5．已知 f(x) 是定义在 R上的函数， f(1)=1 ，且对任意 x ∈R 都 有 f(x+5) ≥f(x)+5,f(x+1) ≤f(x)+1 。若 g(x)=f(x)+1-x ，则 g(2002)=________. 6. 函数 f(x)= 的单调递增区间是 ________. 7. 函数 f(x)= 的奇偶性是： ________奇函数， ________偶函数 （填是，非）。 8. 函数=x+的值域为 ________. 9．设 f(x)=, 对任意的 a ∈R，记 V(a)=ax{f(x)- ax|x ∈[1,3]} -in{f(x)- ax|x ∈[1,3]} ，试求 V(a) 的最小值。 10．解方程组：（在实数范围内） 11．设∈ N+,f:N+ →N+满足：（ 1）f(x) 严格递增；（ 2）对任意 n∈N+,有 f[f(n)]=n ，求证：对任意 n∈N+,都有 n≤f(n) ≤ 六、联赛二试水平训练题 1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f ，满足：（ 1） 对任意 x ≠0,f(x)=xf ；（ 2）对所有的 x ≠- 且 x ≠0，有 f(x)+f()=1+f(x+). 2. 设 f(x) 对一切 x0 有定义，且满足：（ⅰ） f(x) 在（ 0 ，+∞） 是增函数； ( ⅱ) 任意 x0,f(x)f=1 ，试求 f(1). 3.f:[0,1] →R 满足：（ 1）任意 x ∈[0,1],f(x) ≥0；（ 2） f(1)=1 ；（3）当 x,,x+ ∈[0,1] 时，f(x)+f() ≤f(x+) ，试求最小常 数 c ，对满足（ 1），（ 2），（3 ）的函数 f(x) 都有 f(x) ≤cx. 4. 试求 f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x0,0) 的最小 值。 5．对给定的正数 p,q ∈(0,1) ，有 p+q1≥p2+q2，试求 f(x)=(1-x)+ 在[1-q,p] 上的最大值。 6．已知 f:(0,1) →R 且 f(x)=. 当 x ∈时，试求 f(x) 的最大值。 7．函数 f(x) 定义在整数集上，且满足 f(n)= ，求 f(100) 的值。 8．函数 =f(x) 定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转 角后不变。（ 1）求证：方程 f(x)=x 恰有一个