第二节 函数的单调性与最值 (2).pptVIP

必备知识·自主学习 核心素养·微专题 核心考点·精准研析 核心素养测评 第二节　 函数的单调性与最值 高中全程复习方略 内容索引 必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评 【教材·知识梳理】 1.增函数、减函数 2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_______或_______,则称函数y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,______叫做y=f(x)的单调区间. 3.函数最大值与最小值的定义 前提条件:y=f(x)的定义域为I,存在实数M. 相同点:?x0∈I,使得_______ 不同点:最大值中?x∈I,有________ 最小值中?x∈I,有________ 结论:__为最大值,__为最小值. 增函数 减函数 区间D f(x0)=M f(x)≤M f(x)≥M M M 【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数y=f(x),有f(-1)f(3),则函数y=f(x)在R上为增函数. (　　) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　　) (3)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (　　) (4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到. (　　) 提示:(1)×.由增函数的定义可知:函数的单调性体现了任意性,即对于单调区间 上的任意两个自变量x1,x2,均有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2),而不是区间上的两个 特殊值. (2)×.函数在[1,+∞)上是增函数,说明其增区间D?[1,+∞),而增区间不一定是 [1,+∞),所以该说法错误. (3)×.多个单调区间一般不能用“∪”符号连接,而应用“,”或“和”连接,而 本题用“∪”就不正确,如 . (4)√.由单调性的定义可知是正确的. 【易错点索引】 考点三、角度3 忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式 3 考点二、T1 分式中分子、分母均含变量,不经变换直接求值域 2 考点一、T2、3 忽略函数的定义域 1 典题索引 易错警示 序号 【教材·基础自测】 1.(必修1 P39习题B组T3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y= -x B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex 【解析】选A.对于选项A,y= 在(0,+∞)内是减函数,y=x在(0,+∞)内是增函数, 则y= -x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D 中,y=ex在(0,+∞)上是增函数. 2.(必修1P39习题B组T1改编)函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是________.? 【解析】f(x)=x2-2x是开口向上的二次函数,对称轴为x=1,增区间为[1,+∞)(或(1,+∞)). 答案:[1,+∞)(或(1,+∞)) 3.(必修1P31例4改编)函数y= 在[2,3]上的最大值是________.? 【解析】该函数在[2,3]上单调递减,故当x=2时,函数取得最大值,最大值为2. 答案:2 4.(必修1P44A组T9改编)若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.? 【解析】由题意知,[2,+∞)?[m,+∞),所以m≤2. 答案:(-∞,2] 解题新思维　最值和单调性的几个结论的应用? 【结论】 1.设?x1,x2∈D(x1≠x2),则 ①x1-x20(0),f(x1)-f(x2)0(0)?f(x)在D上单调递增;x1-x20(0), f(x1)-f(x2)0(0)?f(x)在D上单调递减; ② 0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0)?f(x)在D上单调递增; ③ 0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0)?f(x)在D上单调递减. 2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调 时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 3.函数y=f(x)(f(x)0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反. 4.“对勾函数”y=x+ (a0)的增区间为(-∞,- ]和[ ,+∞);减区间 为[- ,0)和(0, ],且对勾函数为奇函数. 典例1.函数f(x)=-x+ 在 上的最大值是 (　　) A. 　　　 　B.- 　　　　 C.-2　　　　 D.2 【解析】选A.易知f(x)在 上是减函数,所以f(x)max=f(-