2022版人教A版高中数学选择性必修第二册--函数的单调性.pptxVIP

高中数学 选择性必修第二册 人教A版5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.1 |函数的单调性与导数的关系1.函数f(x)的单调性与其导数f (x)的正负的关系在某个区间(a,b)上,如果f (x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调①　递增;在某个区间(a,b)上,如果f (x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调②　递减.特别地,如果在区间(a,b)上恒有③??f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值④ 　较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ?” .1.函数f(x)在定义域上都有f(x)0,则函数f(x)在定义域上单调递减.?(?　)提示:由f(x)=?,可知f(x)=-?0,但f(x)在定义域上不是单调函数,故错误.2.函数f(x)在区间(a,b)上都有f(x)0,则函数f(x)在这个区间上单调递减.?(　√　)3.若函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f(x)0.(?　)提示:函数f(x)=x3在R上单调递增,但f(x)=3x20不恒成立,故错误.4.函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞).?(　√　)5.函数在某个区间上变化得越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.?(　√　)1 | 导函数与原函数图象的关系?1.导函数的正负决定了原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为负,图象下降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或负.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.2.由y=f(x)的图象判断f (x)的图象,其思维方式是利用y=f(x)的图象的单调性得到函数f (x)的正负;若由f (x)的图象判断y=f(x)的图象,则利用函数f (x)的正负来确定原函数y=f(x)的单调性.?(1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f (x)的图象可能为?(D　)??(2)已知y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,y=f(x)的图象大致是?(?C　)解析??(1)由函数y=f(x)的图象可知,当x0时,函数单调递增,导数始终为正;当x0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D.(2)当0x1时,xf(x)0,∴f(x)0,∴f(x)在(0,1)上为减函数,∴A、B错误;当x1时,xf(x)0,∴f(x)0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴D错误.故选C.2 | 利用导数研究函数的单调性1.利用导数判断函数的单调性的步骤(1)求函数y=f(x)的导数f (x);(2)结合定义域求出导数f (x)的零点;(3)用f (x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,分析f (x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.2.含参数的函数的单调性问题解决含有参数的函数的单调性问题,要考虑到参数对单调性的影响,必要时要进行分类讨论,主要考虑:①含参数的方程f (x)=0是否有根;②方程f (x)=0的根是否在定义域内;③方程f (x)=0不同根的大小. 已知函数f(x)=?ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间.思路点拨(1)求f(x)?根据题意得f(1)=f(3)?解方程求出a.(2)对f(x)变形?分类讨论?确定f(x)的符号?结合定义域求出单调区间.解析??(1)由题意知f(x)=ax-(2a+1)+?(x0).∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,∴f(1)=f(3),即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+?,解得a=?.(2)由(1)知f(x)=?(x0).①当a≤0时,∵x0,∴ax-10,∴在区间(0,2)上, f(x)0;在区间(2,+∞)上,f(x)0.故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0a?时,?2,在区间(0,2)和?上, f(x)0;在区间?上, f(x)0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和?,单调递减区间是?.③当a=?时, f(x)=?≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间.④当a?时,0?2,在区间?和(2,+∞)上, f(x)0;在区间?上,f(x)0.故