2022版人教A版高中数学选择性必修第二册--等差数列的前n项和公式.pptxVIP

高中数学 选择性必修第二册 人教A版4.2.2　等差数列的前n项和公式1.探索并掌握等差数列前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.会用等差数列的前n项和公式解决有关计算问题.3.理解等差数列前n项和公式的函数特征,能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.1 |等差数列前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn=①???Sn=②?na1+ d 2 |等差数列{an}的前n项和公式的函数特征等差数列{an}的前n项和公式可化成关于n的表达式:Sn=na1+?=?n2+n.(1)该表达式中没有常数项;(2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y=?x2+?x上横坐标为正整数的一系列孤立的点.3 |等差数列前n项和的性质性质1公差为d的等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd(d为等差数列的公差),?=?(S奇≠0);若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项),S奇-S偶=an,?=?(S奇≠0)性质3{an}为等差数列??为等差数列性质4两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn 之间的关系为?=?(bn≠0,T2n-1≠0)判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ?” .1.1+2+3+…+n=?.?(　√　)2.等差数列{an}的前n项和为Sn=?(n≥3,n∈N*).?(　√　)提示:易知等差数列{an}的前n项和公式为Sn=?,由等差数列的性质,得a1+an=a3+an-2,所以Sn=?(n≥3,n∈N*).3.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.?(?　)提示:公差为0、首项不是0时,等差数列的前n项和是关于n的一次函数.4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列.?(?　)提示:等差数列的前n项和公式是关于n的且不含常数项的表达式,题中Sn=n2+1有常数项,所以{an}不是等差数列.5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6成等差数列.?(?　)提示:若Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列.1 | 等差数列前n项和公式及其应用1.求等差数列的前n项和(1)条件与公差d有关,运用公式Sn=na1+?d求其前n项和;(2)条件与等差数列的项an有关,运用公式Sn=?求其前n项和,解题时与等差数列的性质结合可以起到事半功倍的效果.2.在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程组.因此利用方程思想求出基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径.在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解析??(1)设等差数列{an}的公差为d.解法一:由已知得?解得?∴S10=10a1+?d=10×3+?×4=210.解法二:由已知得?∴a1+a10=42,∴S10=?=5×42=210.(2)∵S7=?=7a4=42,∴a4=6.又an-3=45,∴Sn=?=?=?=510,∴n=20.2 |等差数列前n项和性质的应用在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:(1)整体思路:利用公式Sn=?,设法求出整体a1+an,再代入求解.(2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可;也可以利用?是关于n的一次函数,设?=an+b(a≠0)进行计算.(3)利用相关性质中的结论进行求解.　已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列的公差d.思路点拨思路一:由已知列方程组?解出d.思路二:利用S偶-S奇=6d?求出d.解析?解法一:由已知得?解得?故该数列的公差d为5.解法二:由已知得?解得?又S偶-S奇=6d,所以d=?=5.(1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;(2)已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且