【2020创新设计一轮复习数学】第八章第6节空间向量及其运算.pdf

第 6 节 空间向量及其运算 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空 间向量的正交分解及其坐标表示； 2. 了解空间向量的线性运算及其坐标表示； 3. 了解空间向量的数量积及其坐标表示； 4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量 的长度、两向量的夹角 . 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 0 的向量 0 单位向量 长度 (模)为 1 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－ a 表示空间向量的有向线段所在的直线互 共线向量 a ∥b 相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在实数 λ，使得 b＝ λa. → → 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是 OP＝OA＋ta① → → → → 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t ∈R ，在 l 上取AB ＝a，则①可化为 OP＝OA＋tAB或 → → → OP＝(1－t)OA＋tOB. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式： p＝xa＋yb，其中 x ，y ∈R ，a，b 为不共线向量， → → → → → → → 推论的表达式为 MP＝xMA ＋yMB或对空间任意一点 O，有OP＝OM ＋xMA ＋yMB → → → → 或OP＝xOM ＋yOA ＋zOB，其中 x＋y＋z＝1. (3)空间向量基本定理 如果向量 e ，e ，e 是空间三个不共面的向量， a 是空间任一向量，那么存在唯 1 2 3 一一组实数 λ， λ， λ，使得 a ＝ λ ＋ λ ＋ λ ，空间中不共面的三个向量 e ， e e e 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 ，e 叫作这个空间的一个基底 . e2 3 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做 π 向量 a 与 b 的