【2020创新设计一轮复习数学】第六章第3节平面向量的数量积及其应用.pdf

第 3 节 平面向量的数量积及其应用 考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积 与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角， 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题； 6.会用向量方法解决简单的力学 问题与其他一些实际问题 . 知 识 梳 理 1.平面向量数量积的有关概念 → → (1) 向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记 OA＝ a ，OB ＝b，则∠ AOB ＝ θ(0 °≤ θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角 . (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量 |a||b|cos__θ 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 ) ，记作 a ·b，即 a ·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一 向量的数量积为 0，即 0 a·＝0. (3)数量积的几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos__θ的乘积 . 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a ＝(x1 ，y1)，b＝(x2 ，y2)， θ为向量 a，b 的夹角 . (1)数量积： a ·b＝|a ||b|cos θ＝x x ＋y y . 1 2 1 2 2 2 (2)模： |a |＝ a ·a＝ x1 ＋y1. a ·b x1x2 ＋y1y2 (3)夹角： cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1 ·x2 ＋y2 (4)两非零向量 a ⊥b 的充要条件： a ·b＝0? x x ＋y y ＝0. 1 2 1 2 2 2 2 2 (5)|a ·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立 )? |x1x2 ＋y1y2|≤ x1＋y1 ·x2 ＋y2 . 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b＝b ·a(交换律 ). (2) λa b·＝ λ(a ·b)＝a ·( λb)(结合律 ). (3)(a＋b) c·＝a c·＋b c·(分配律 ). [常用结论与易错提醒 ] 1.设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为 θ，则 e ·a＝a ·e＝|a|cos θ. 2 2.当 a 与 b 同向时， a ·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时， a ·b＝－ |a||b|，特别地， a ·a＝a 2 或|a|＝ a . 3.数量积运算律要准确理解、应用，例如， a ·b＝a ·c(a≠0)不能得出 b＝c，两边不 能约去同一个向量 . 4.两个向量的夹角为锐角，则有 a ·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则 有 a ·b＜0，反之也不成立 . 基 础 自 测 1.思考辨析 (在括号内打“√”或“×” ) π (1)两个向量的夹角的范围是