【2020创新设计一轮复习数学】第八章第7节空间向量与线面位置关系.pdf

第 7 节 空间向量与线面位置关系 考试要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会用向量方法证明直线、平 面的位置关系； 2.了解向量法求点到面的距离 . 知 识 梳 理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量 . (2) a b α n 平面的法向量可利用方程组求出：设 ， 是平面 内两不共线向量， 为平面 n a·＝0， α的法向量，则求法向量的方程组为 n ·b＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l 1 和 l2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ∥l2(或 l1 与 l2 重合 )? v 1 ∥v 2 . 1 2 (2)设直线 l 的方向向量为 v ，与平面 α共面的两个不共线向量 v 和 v ，则 l ∥ α或 l? α? 存在两个实数 x ，y ，使 v ＝xv 1＋yv 2 . (3)设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α的法向量为 u ，则 l ∥ α或 l? α? v ⊥u. (4)设平面 α和 β的法向量分别为 u1 ，u2 ，则 α∥ β? u1 ∥u2 . 3.用向量证明空间中的垂直关系 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1)设直线 l 和 l 的方向向量分别为 v 和 v ，则 l ⊥l ? v ⊥v ? v v·＝0. (2)设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α的法向量为 u ，则 l ⊥ α? v ∥u. 1 2 1 2 1 2 (3)设平面 α和 β的法向量分别为 u 和 u ，则 α⊥ β? u ⊥u ? u ·u ＝0. 4.点面距的求法 如图，设 AB 为平面 α的一条斜线段， n 为平面 α的法向量，则 B 到平面 α的距离 d → ＝|AB ·n| . |n| [常用结论与易错提醒 ] 1.直线 l1 ，l2 的方向向量分别为 v 1 ，v2 ，且 v 1 ∥v 2 ，若 l 1 ，l2 有公共点，则 l 1，l2 重合；若 l1 2 1 2 ，l 没有公共点，则 l ∥l . 2.直线 l 的方向向量 v 与平面 α内不共线的向量 a，b 满足 v ＝ λa＋ μb，若直线 l 与 α无公共点，则 l ∥ α，若直线 l 与 α有公共点，则 l? α. 3.直线 l 的方向向量 v 与平面 α的法向量 u 垂直，若直线 l 与平面 α有公共点，则 l? α，若直线 l 与平面 α无公共点，则 l ∥ α. 基 础 自 测 1.思考辨析 (在括号内打“√”或“×” ) (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行 .( ) (2)如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线， 则这条直线与该平 面平行 .( ) (3) 如果一条直线的